Algoritmos y conceptos básicos

Lección 1. Algoritmos y conceptos básicos.

Objetivos. La primera lección del curs está dedicada a repasar los

conceptos y algoritmos del álgebra lineal, básicos para el estudio de la

geometría con coordenadas.

n Operaciones con matrices.

n Determinantes.

n Rangos.

n Sistemas de ecuaciones lineales.

n Inversión de matrices.

1.1 Operaciones con matrices. En este apartado repasaremos las

operaciones básicas con matrices: suma, producto por un escalar y producto. La

inversión de matrices se estudia más adelante.

Suma de matrices. Les matrices, de la misma manera que los vectores, se

suman componente a componente.

Solamente se pueden sumar matrices cuando éstas tienen las mismas

dimensiones.

Producto por escalares. El producto de una matriz por un escalar -o

número real- se efectúa multiplicando este escalar por cada uno de los

elementos de la matriz.

Producto de matrices. El producto de dos matrices se obtiene efectuando

el producto escalar de las filas de la primera matriz per las columnas de la

segunda.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

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Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera ha de

coincidir con el número de filas de la segunda.

La matriz resultante tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como

la segunda.

dim(A) = 2 x 2, dim(B) = 2 x 3 >>> dim(AB) = 2 x 3

dim(A) = m x n, dim(B) = n x p >>> dim(AB) = m x p

ejercicio 1 problema 1.1

ejercicio 2 problema 1.2

1.2 Determinantes. El determinante de una matriz cuadrada nos informa,

por un lado, de la dependencia lineal entre sus vectores fila (o columna).

Por otro lado, nos permite calcular el volumen del sólido que tiene como aristas

dichos vectores.

También nos proporciona información sobre la orientación de la base.

Cálculo del determinante. El determinante de una matriz cuadrada se

define como la suma de todos los productos (con signo) en los que intervienen

un único elemento de cada fila y de cada columna.

Ejemplo 4 determinante 2x2.

Ejemplo 5 determinante 3x3 (estrella).

Ejemplo 6 determinante nxn (desarrollo por filas o por

columnas).

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El método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones puede

utilitzarse también (con precaución) para calcular determinantes.

Interpretación geométrica. El determinante de dos vectores mide el área

del paralelogramo que tiene como lados dichos vectores. por qué?

El determinante de tres vectores mide el volumen del paralelepípedo que

determinan.

Por consiguiente, el determinante de dos vectores paralelos o de tres vectores

coplanarios es igual a cero.

En general, el determinante de n vectores linealmente dependientes es nulo.

1.3 Rango de una matriz. El rango de una matriz es el número de

columnas (filas) linealmente independientes. El cálculo del rango puede hacerse

por determinantes, o por el método de Gauss.

Cálculo del rango Para calcular el rango de una matriz se busca el menor

de mayor orden con determinante no nulo que se puede formar con los

elementos de la matriz.

Entendemos por menor de una matriz cualquier submatriz cuadrada de la

misma.

Ejemplo

7 es un menor nulo (su

determinante

vale 0 ) de orden 2 (matriz 2x2) de

la matriz

es un menor no nulo

(determinante diferente de 0) de

orden 2 de la misma matriz.

NO es un menor de orden 2 de esta

matriz, porque 1 y 2 no son de la

misma fila:

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No hace falta considerar todos los menores posibles de la matriz. Es suficiente

con una secuencia de ampliaciones sucesivas.

ejercicio 4 problema 1.6

1.4 Sistemas de ecuaciones lineales. Los sistemas de ecuaciones

lineales expresan dependencias lineales entre variables (incógnitas). Resolver el

sistema es hallar valores de estas variables que satisfacen todas las ligaduras

simultáneamente. Si las ligaduras son demasiado restrictivas (resp. demasiado

laxas), puede suceder que no existan tales valores (resp. puede que no estén

completamente determinados).

Algunos ejemplos sencillos.

Ejemplo 8 El rango de la matriz del

ejemplo anterior es 3. Observad la

secuencia de menores no nulos:

Problema 9 Determinar dos valores numéricos tales que el

primero más el doble del segundo sumen 6.

Solución Representaremos las cantidades desconocidas por

dos letras x e y, que se llaman variables o incógnitas, e

impondremos la condición x + 2y = 6 . A simple vista se ve

que hay muchos valores posibles de x e y que satisfacen la

igualdad (ecuación) anterior, p. ej. x=2 e y=2, o también x=0

e y=3, etc. El problema no está determinado.

Problema 10 Hallar dos valores numéricos tales que uno

cualquiera de ellos más el doble del otro sumen 6.

Solución En este caso hemos de imponer dos condiciones,

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