Análisis Dimensional

El análisis dimensional es una poderosa herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham

El Análisis dimensional es una herramienta eficaz para el estudio de múltiples problemas físicos, tanto de índole teórico con experimental. Aprovecha el hecho de que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas y Las cantidades sólo pueden sumarse o restarse si tienen las mismas dimensiones. Ya que El Análisis Dimensional se basa en que las ecuaciones físicas deben ser homogéneas, es decir, las dimensiones de las magnitudes a ambos lados de una igualdad deben ser idénticas.

El método a seguir consiste en reducir cada una de las magnitudes presentes en la igualdad a productos y cocientes entre magnitudes fundamentales.

¿Para qué sirve?

Con el análisis dimensional puedo deducir o verificar una fórmula o expresión, determina las unidades (o dimensiones) de la constante de proporcionalidad, pero no su valor numérico. Por tanto no puedo determinar las constantes a dimensionadas.

Aplicaciones del Análisis dimensional

• Detección de errores de cálculo.

• Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables.

• Creación y estudio de modelos reducidos.

• Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, etc.

Ejemplos

Ejemplos: 1) Determinar si la expresión es dimensionalmente correcta.

a) Determino las dimensiones de cada una de las variables: [x] = L, [a] = L/T2=LT-2, [t]2

b) Igualo las dimensiones de cada variable: [x] = [a] [t]2

c) Sustituyo las dimensiones de cada variable: L = (LT-2) (T)2.

d) Opero algebraicamente con las dimensiones (agrupo las dimensiones iguales y aplico propiedades de potencias): L = L (T-2). (T)2 = L T (-2+2) = LT0 = L

e) Concluyo en función del resultado si es dimensionalmente correcto. En este caso sí lo es.

2) A partir de la ley de Gravitación Universal de Newton: determinar las dimensiones de la constante de gravitación G.

a) A partir de la ley puedo deducir que:

b) Las dimensiones son: [M] = [m] = M; [r2] = L2; [F] =MLT-2. (Pues F = m.a)

c) [G] = [F]. [r2]/ ([M]. [m])

d) [G] = (MLT-2). ( L2)/ ((M) (M))

e) [G] = M (1-(1+1)).L (1+2) T-2 =M-1L3T2

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