Apuntes mecánica de sólidos (centroide)

CENTRO DE GRAVEDAD EN UNA PLACA PLANA

• Consideremos una placa horizontal plana.

• La placa se dividirá en n elementos pequeños.
• Las coordenadas del primer elemento se indica como X1 - Y 1.
• El peso de cada elemento se designa por ,ΔW1 .. ΔWi

• Se supondrán que dichos pesos son paralelos.

• Se determinará el peso total  W y su punto de aplicación  G que sea  equivalente:

• A los pesos y sus aplicaciones sobre cada elemento que forman el cuerpo

[pic 1]

• El peso total corresponde a :

[pic 2]

• Para determinar el punto de aplicación se debe igualar el momento de la fuerza total a la suma de los momentos de cada peso elemental:

[pic 3]

• Si aumentamos el número de elementos y achicamos el tamaño de cada elemento se tiene:

[pic 4]

• Estas ecuaciones definen el peso total W y las coordenadas del punto de aplicación en una placa(centro de gravedad).

`

 CENTROIDE

• En el caso de una placa homogénea de espesor uniforme:

• La magnitud ΔW , el peso de un elemento i de la placa,  se expresa como:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

• Donde A es el área total de la placa.
• ɤ = ρ g :

• ρ : densidad del cuerpo
• g : aceleración de gravedad.

• Con el cálculo del centro de gravedad se tiene:

[pic 8]

• Consideremos un cuerpo homogéneo  (ρ constante )se llega a:

[pic 9]

[pic 10]

• Por lo tanto:

[pic 11]

• Con lo cual para el centroide se tiene:

[pic 12]

[pic 13]

• Cuando existe un eje de simetría el centroide se ubica en dicho eje:

• En la figura se observa que para cada elemento dA de abscisa (X) :

• Existe un elemento dA´  con una abscisa ( -X )

• Por lo anterior el momento con respeto a eje Y es igual a cero.

[pic 14]

• Si hay dos ejes de simetría

• El centroide está ubicado en la intersección de los ejes.

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[pic 16]

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Superficies compuestas

• El centroide o el centro de gravedad se puede calcular:

• A partir del centro de gravedad o centroide de figuras conocidas.

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Superficies compuestas

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Método de Integración directa

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• Determinación de k:

• Con x= a ;  y = b se tiene que k = b/a2

• Es decir:

[pic 27]

• Un rectángulo infinitesimal de ancho dx con una altura"y"

• Tiene un área dA:

• dA = y dx  

• Su centroide está ubicadoen las coordenadas ( x ; y/2)

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[pic 29][pic 30]

[pic 31]

Para la coordenada vertical:

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Centroides y áreas de elementos diferenciales

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Figuras compuestas

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Integración directa

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Determinar el centroide de la figura.

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MOMENTO DE INERCIA

• En aplicaciones mecánicas muchas veces la fuerza es función de una distancia:

• Caso hidrostático y flexión.

• En los casos anteriores cuando se desea calcular el momento en toda la superficie:

• Integral del brazo por la fuerza infinitesimal dF:

• En los cálculos aparece lo que se denomina Momento de inercia definido por

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• Para calcular  Ix :

• Se selecciona una tira  de área dA paralela al eje x:

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• Para calcular Iy

• Se selecciona una tira de área dA paralela al eje y:

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• Calcular el momento de inercia de un rectángulo con respecto a su base.

• Se selecciona una tira paralela al eje X

• dA = bdy
• Ix = ∫y2 dA

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Para una figura determinada se puede utilizar:

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MOMENTO POLAR

• En caso de la torsión es muy importante la siguiente integral:

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Teorema de Steiner:

• Determinemos la relacion entre el momento de inercia de un eje AA y el momento de inercia de un eje BB paralelo que pasa por el centroide:

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El momento de inercia I AA está dado por:

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Dado que  y = y´ + d

  [pic 69]

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[pic 73]

...