Asíntotas
Enviado por Adriano Bardales Niquen • 23 de Mayo de 2017 • Apuntes • 517 Palabras (3 Páginas) • 68 Visitas
Asíntotas
Se llama asíntota de una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.
Definición
Asíntota vertical
La recta x=a es asíntota vertical (AV) de f(x) si limx->a+ f(x) = inf olimx->a- f(x) = inf.
[pic 1]
Definición
Asíntota horizontal
La recta y=b es asíntota horizontal (AH) de f(x) si limx->inf f(x) = b.
[pic 2]
Ejemplo
f(x) = x/(x-1) |
| [pic 3] |
Definición
Asíntota oblicua
La recta y = mx + n es asíntota oblicua (AO) de f(x) si limx->inf f(x) - (mx + n) = 0.
[pic 4]
Ejemplo
f(x) = x + 1/x |
| [pic 5] |
Teorema
y = mx + n es asíntota oblicua de f(x) <=>
n = limx->inf f(x) - mx
m = limx->inf f(x)/x
Demostración:
Directo:
Por hipótesis lim f(x) - (mx + n) = 0
x->inf
=> lim f(x) - mx - n = 0
x->inf
=> lim f(x) - mx = n
x->inf
n
---^---
f(x) f(x) f(x) - mx
=> lim ---- = lim ---- - m + m = lim --------- + m = m
x->inf x x->inf x x->inf x
Recíproco:
lim f(x) - (mx + n) = lim f(x) - mx - n = 0
x->inf x->inf
=> por definición y = mx + n es asíntota oblicua de f(x).
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