BRAQUISTOCRONA

INTRODUCCIÓN

Si preguntamos a cualquier persona que grafique la trayectoria que un cuerpo hace cuando se desplaza de un punto a otro de menor altura, en un campo gravitatorio, es probable que éste diga que la trayectoria es una recta que una esos puntos. En contra de lo que parecería a primera vista, la línea recta no es la que permite el descenso más rápido, sino una curva que se llama braquistócrona está hecha de dos palabras griegas: bracistoz (braquistos) que quiere decir, el más corto, y cronoz (cronos), tiempo; braquistócrona literalmente quiere decir, de tiempo mínimo,también conocida como cicloide.

La braquistocrona fue encontrada a fines del Siglo XVII y su historia es muy interesante, ya que involucró a los más grandes matemáticos de esa época

HISTORIA

Johann Bernoulli, en la Actas de Leipzig, propuso el siguiente problema:

Dados dos puntos A y B situados en un plano vertical, entre todas las curvas situadas en el plano vertical, que unen los puntos A y B, determinar la que es recorrida en el menor tiempo posible por un punto móvil M, de masa puntual, sometido a la acción de la gravedad.

Aunque el mismo Bernoulli dio una solución en 1697, fue Newton quien la clasificó como una cicloide, es decir, el lugar geométrico descrito por un punto de una circunferencia cuando ésta rueda por una línea recta sin deslizar. El desafortunado Bernoulli lanzó el reto para intentar ridiculizar a Newton, que ya por aquella época se dedicaba a trabajos burocráticos. Bernoulli estaba de parte de Leibniz y pensó que Newton no podría hacer un correcto uso del necesario cálculo diferencial para resolver el problema. Pero sí consiguió resolverlo, y Bernoulli dejó para la historia la frase "Es fácil reconocer al león por sus garras".

El primero de los problemas propuestos por Johann Bernoulli a Newton es el denominado problema de la braquistócrona. Consiste en determinar la curva a través de la que el tiempo que tarde un objeto en caer de un punto a otro sea mínimo

El problema puede ser resuelto utilizando los algoritmos del cálculo variacional.

Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en A, o si se toma en cuenta el efecto de la fricción, la curva que minimiza el tiempo de tránsito será distinta de la descrita en los párrafos precedentes.

Demostración

La conservación de la energía requiere que la velocidad vertical de un cuerpo en un campo gravitatorio uniforme venga dada por:

Donde y representa la altura vertical desde la que ha caído el cuerpo. Por otra parte el espacio recorrido viene dado por:

De la ecuación diferencial que da la velocidad se sigue que el tiempo entre los puntos a y b viene dado por:

Como la curva que hace mínimo el funcional anterior satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, se tiene:

...