Bases de la Mecánica Cuántica

Prueba 1                                FAM                                         Física

Fecha: 1 de diciembre de 2015                Tiempo: 2h30                        Total:   150p

Bases de la Mecánica Cuántica

1. Escriba la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.

1. Explique brevemente  a que corresponden los diferentes términos en esa ecuación                                                        [6p]
2. Resuelva directamente el problema de la partícula libre:        

1. ¿Cuál es la función de onda  correspondiente?                [6p]
2. ¿Qué problema matemático tiene esta función?        [4p]
3. Demuestre que una solución aceptable física y matemáticamente para la partícula libre es un paquete de onda:                       [6p]

[pic 1]                        [6p]

1.  Si se hace una expansión en serie de la función de dispersión ω(k) y se reemplaza, se obtiene que [pic 2], encuentre una expresión para A(x, k, t).

1. Dada la función de onda para una partícula en una caja infinita de potencial

[pic 3]

1. Normalice la función de onda                                        [6p]
2. Escriba una expresión para f(t)                                        [6p]
3. Si se mide la energía, ¿qué probabilidad hay que obtener el valor E1, 4 E1, 3.8E1, 9E1, con   en esa medición?                        [8p][pic 4]
4. ¿Se trata de un estado estacionario?¿Por qué?                        [6p]

1. El Núcleo Atómico:

1. Una película de aluminio dispersa 103 partículas alfa por segundo en una dirección y para un ángulo sólido dados. ¿Cuántas  partículas serán dispersadas en la misma dirección y ángulo sólido si se reemplaza el aluminio por una película de oro del mismo espesor?                        [6p]
2. ¿De qué tamaño es aproximadamente el núcleo atómico del isótopo del Californio 98248Cf?                                                [3p]

1. Dispersión de Rutherford:  

1. ¿Cuánto vale el parámetro de impacto para protones que impactan núcleos de oro en una colisión frontal directa?                                [3p]
2. Considere la dispersión de Rutherford para el caso en el que m1>>m2, demuestre que la sección transversal diferencial en el sistema del laboratorio se puede aproximar (con ψmax=m2/m1) mediante:

[pic 5] [3p]

Responda brevemente:

1. En la dispersión de Rutherford, ¿Cuál sería la energía cinética de un protón para que este logre “tocar” el núcleo?                                        [3p]
2. ¿Qué pasaría si la energía de impacto es superior a la última indicada?  [3p]

1. Fotones:

1. ¿Cuántos átomos puede excitar directamente un fotón?                [3p]        
2. ¿Cuántos fotones por segundo emite una antena de un celular de 5μW de potencia emitiendo a 2.5 GHz?                                                [6p]
3. En evento en el  cual un átomo emite un fotón gama de 2 MHz ¿Cuál es la energía cinética que transfiere en retroceso el fotón al átomo como resultado de la emisión?                                                                [6p]
4. ¿Cuál es el desplazamiento Compton  para un fotón visible de  λ=400nm incidente sobre un electrón libre en un material?                        [6p]

1. Átomo de Hidrógeno

1. Usando la notación ψnlm liste todas los estados del hidrógeno para n=1, 2, 3 sin considerar el espín.                                                          [6p]
2. Encuentre la diferencia en la longitud de onda emitida por un átomo de hidrógeno y uno de deuterio en una transición[pic 6]. Dé una respuesta numérica.                                                                [6p]
3. Un electrón en el campo coulombiano de un protón proton está en un estado dado por: [pic 7]. Encuentre el valor esperado de la energía, [pic 8] y Lz, y de Lx.                                 [12p]
4. Un atomo de hidrógeno está en el estado: 
   [pic 9]

Conocemos que para los autoestados del hidrógeno [pic 10] Encuentre el valor esperado para la energía potencial para este estado.  [6p]

1. A [pic 11] un átomo de hidrógeno está en el estado [pic 12]. Calcule el valor esperado de r, esto es, ,  en función del tiempo. Para esto, primero escriba la ψ(t) y luego integre. Note además que la integral sobre la parte angular en este caso debe dar 1, directamente  porque r  no depende de los ángulos.                [12p][pic 13]
2. Use la relación de Kramers para encontrar expresiones para [pic 14][pic 15]                                                [12p]

Constantes:

• e=1.6 10-19 C
• masa electron = 9.1 10-31 Kg
• 1 uma = 1.67 10-27 Kg
• Cte. De Planck: h=6.62606957(29)×10−34 (J·s)
• Permitividad del vacío: ε0=8.8542 10-12 (F/m)
• Aluminio: 2713Al
• Oro: 19779Au

...