Big Bang

ANALISIS

Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una aproximación mejor, x1, dada por la fórmula:

El método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, de hecho, el método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0,f(x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0). La nueva aproximación a la raíz, x1, se obtiene de la intersección de la función lineal con el eje X de ordenadas.

La ecuación de la recta que pasa por el punto (x0,f(x0)) y de pendiente f'(x0) es:

y - f(x0) = f'(x0)(x-x0)

De donde, haciendo y=0 y despejando x obtenemos la ecuación de Newton-Raphson

Conclusión.-En la aplicación de este método se tiene que tener cuidado al escoger la primera aproximación ya que como se vio en la primera y segunda aproximación el método convergió pero se produjo una división para cero por lo cual el método no pudo continuar.

Cuando x0=3 la tangente se aleja cada vez más del punto que estamos buscando, por lo tanto el método diverge.

Hacer un análisis comparativo de los errores relativos para los diferentes métodos

x²-3x-eˣ+2

FALSA POSICION: El método de la falsa posición utiliza la misma fórmula que el método de la secante. Sin embargo, no se aplica la fórmula en xn−1 y xn, como el método de la secante, pero en xn y en la última iteración xk tal que f(xk) y f(xn) tiene un signo diferente. Esto significa que el método de la falsa posición siempre converge.

SECANTE:

CONCLUSIONES:

* En la aplicación de estos métodos una herramienta muy importante es la gráfica de la función ya que gracias a esto podemos dar una primera aproximación que permita que el método converja como es el caso del método de Newton, o podemos aplicar el método más conveniente dependiendo de la función.

* El método de Newton es eficiente pero una de las dificultades que presenta es la obtención de la derivada ya que en algunas ocasiones la obtención de esta suele ser algo compleja.

* Muchas funciones

tienen más de una raíz, en estos casos es importante escribir un intervalo en el que se encuentre una sola raíz, y después dar más intervalos para encontrar las otras raíces, tomando en cuenta que en todos los intervalos la función tiene que ser continua.

...