Biotecnologia

Problema 1

En una fábrica existe espacio para guardar desperdicios de la producción, con capacidad para almacenar K metros cúbicos. Cada semana, la fábrica produce N metros cúbicos de desperdicio, siendo N una variable aleatoria, tal que Pr⁡{N=j}=a(j), j=0,1,2,3,⋯

Si la cantidad de desperdicios producidos en un semana supera la capacidad disponible, el exceso debe eliminarse forzosamente a través de un procedimiento especial a un costo de $A por metro cúbico.

Al final de cada semana existe la posibilidad de remover desperdicios a través de un procedimiento regular a un costo fijo de $B y un costo variable de $C por metro cúbico.

La empresa ha decidido utilizar la siguiente política: si al final de la semana, el espacio dedicado a guardar desperdicios contiene más de D metros cúbicos (D<K), el espacio se vacía completamente; en caso contrario no se hace nada.

Sea X_n el nivel de desperdicio, en el espacio dedicado a ello, al principio de la semana n.

Obtenga la matriz de probabilidades de transición para este proceso.

Identifique las clases de estado del proceso e indique si existe distribución estacionaria.

Obtenga una expresión para el costo esperado semanal de esta política, en el largo plazo.

Solución:

N_n= cantidad de desperdicios que generará la fábrica durante la semana n. Así,

X_(n+1)={■(X_n+N_n&si X_n+N_n≤D@0&si X_n+N_n>D)┤

Si, en el caso que X_n+N_n>D, además se cumple que X_n+N_n>K, entonces se aplicará el procedimiento especial para eliminar el exceso de X_n+N_n-K, a un costo de A [$/m^3 ], y luego, al final de la semana, se aplicará el procedimiento regular, con lo cuál X_(n+1)=0.

Los estados posibles de X_n van desde X_n=0 hasta X_n=D.

La matriz de probabilidades de transición para este proceso es la siguiente:

P_0,0=Pr⁡{N_n=0 ó N_n>D}=Pr⁡{N_n=0}+Pr⁡{N_n>D}

=a

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