CAPITULO X - FACTORIZACIÓN

CAPITULO X - FACTORIZACIÓN

Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de sus factores:

Ejemplo:

       x4 - 1 = (x2 + 1) (x2 - 1)

                    (x2 + 1) (x + 1) (x - 1)

Una expresión queda completamente factorizada cuando se la representa como el producto de la mayor cantidad posible de factores de "primer grado" o "factores lineales".

Se llama factores lineales las que tienen grado 1.

* comparas con ejemplo anterior

* factor primo: que no se puede seguir factorizando: ejemplo(x+3)2 F. primo =(x+3)

Métodos de factorización

1)    Factor común:

       a) Se halla el M.C.D. de los                                 coeficientes de los términos de la                  expresión dada.

       b) Se multiplica dicho M.C.D. por los                 factores literales comunes a todos                 los términos, pero con su menor                          exponente.  Este producto se llama               factor común.

       c) Se multiplica (en forma indicada)                    el factor común hallado por el                                    resultado de dividir cada término de                  la expresión dada entre el factor                    común hallado.

Ejemplo: 24x3y2m4 + 36x4y3m - 8x2yz3

I.    

       [pic 1]

II) 4x2y

III) 4x2y (6xym4 + 9x2y2m - 2z3)

Ejemplos:

1.    12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 + 48 m5n4

[pic 2]

       12m2n

       12m2n (1 + 2mn - 3m2n2 + 4m3n3)

2.    17a5b2 - 51a4b3 + 85a2bz4

       17a2b (a3b - 3a2b2 + 5z4)

3.    4n + 12n = 4n (1 + 3n)

4.    27x3y2z - 18xyz2 + 9x2y3z

       9xyz (3x2y - 2z + xy2)

5.    55x8/3 + 5x5/3 - 15x2/3

       5x2/3 (11x6/3+x3/3-3)

       5x2/3 (11x2 + x- 3)

6.    b (x - a) + x (x - a)

       (x - a) (b + x)

7.    7m3 (x + 8)2 - (x + 8)3

       (x + 8)2 [7m3 - (x + 8)]

       (x + 8)2 [7m3 - x - 8]

8.    m2 (5x - 3a) + 2abn (5x - 3a)

       (5x - 3a) (m2 + 2abn)

9.    3b(a + 1) + a + 1

       3b(a + 1) + (a + 1)

       (a + 1) (3b + 1)

10.   (x - 1) (x - 2) (x - 3) + (x - 1) (x - 2) -          (x - 1) + 3 (x - 1) (x -3)

(x - 1)[(x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 + 3(x - 3)]

(x - 1) (x - 3) [x - 2 + 1 + 3]

(x - 1) (x - 3) (x + 2)

2).Agrupación de términos

1.    ax + by + bx + ay

       (ax + bx) + (ay + by)

       x(a + b) + y (a + b)

       (a + b) (x + y)

2.    x3 + x2 + x + 1

       (x3 + x2) + (x + 1)

       x2(x + 1) + (x + 1)

       (x + 1) (x2 + 1)

3.    3a - b2 + 2b2x - 6ax

       (3a - b2) + (2b2x - 6ax)

       (3a - b2) + 2x(b2 - 3a)

       (3a - b2) - 2x(3a - b2)

       (3a - b2) (1 - 2x)

4.    2am - 2an + 2a - m +n - 1

       2a(m - n + 1) + (-m +n - 1)

       2a(m - n + 1) - (m - n + 1)

       (m - n + 1) (2a - 1)

5.    a3 + a2 + a + 1 + x2 + a2x2

       (a3 + a) + (a2 + 1) + x2 + a2x2

       a(a2 + 1) + (a2 + 1) + x2 (1 + a2)

       (a2 + 1) (a + 1 + x2)

3) Trinomio cuadrado perfecto:

1.    Ordenar el Trinomio.

2.    El 1ro y 3er término deben ser positivos.

3.    Los extremos deben ser cuadrados              perfectos.

4.    El 2do término debe ser el doble       producto de las raíces de los extremos.

       a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

       a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Ejemplo : x4 - 4x2 + 4

              x2  2(2)x2    2

              (x2 - 2)2

1.    1 + 49x4y2 + 14x2y

       49x4y2 + 14x2y +1

       7x2y  (7x2y)(1)  1

2.    -x2 + 2x - 1

       -[x2 - 2x + 1]

       -[x - 1]2

       -(x - 1)2

3.    [pic 3]

       [pic 4]

       [pic 5]

4.    4a2 + 4ab + b2

       2a  2(2a)b  b

       (2a + b)2

5.    [pic 6]

         [pic 7][pic 8]

         [pic 9]

6.    32a3x2 + 200y2a3 - 160xa3y

       8a3 (4x2 + 25y2 - 20xy)

       8a3 (4x2 - 20xy + 25y2)

              2x    2(2x)(5y)  5y

       8a3 (2x - 5y)2

7.    4(x + 1)2 + 4(x + 1) + 1

       2(x + 1)   2[2(x+1) 1]    1

       [2(x + 1) + 1]2

       [2x + 2 + 1]2

       (2x + 2 + 1]2

...