CDI_U3_A3

.∫▒〖〖sen〗^3 mx dx〗

u=mx du=mdx

Para mantener la igualdad de la integral se divide entre m

=1/m ∫▒〖sen^3 (u)du〗

=1/m ∫▒〖sen u sen^2 (u)du〗=1/m ∫▒〖sen u 〖(-cos〗^2⁡u+1)du〗

1/m ∫▒〖〖〖(-cos〗^2 u sen 〗⁡u+sen u)du〗

1/m ∫▒〖〖(-cos〗^2 u sen u)du+1/m ∫▒〖(sen u)du〗〗

v=cos⁡〖u dv=sen u du〗

-1/m ∫▒〖v^2 dv+1/m ∫▒dv〗

-1/3m v^3+1/m v

sustituyendo v=cos⁡〖u y u=mx〗

-1/3m 〖cos〗^3 u+1/m cos⁡u=

-1/3m 〖cos〗^3 mx+1/m cos⁡mx

2.∫▒〖〖(tan〗^2⁡x sec⁡〖x)dx〗 〗

∫▒〖〖(tan〗^2⁡x sec⁡〖x)dx〗 〗

tan^2⁡x+=sec^2⁡x-1

=∫▒〖sec⁡x (sec^2 x-1)〗 dx

∫▒〖sec^3 x dx-〗 ∫▒〖sec x〗

por la formula de ∫▒〖sec u du=In (sec u+tan u)+c〗

∫▒〖sec^3 x dx-〗 In (sec x+tan x)+c

por la formula de reduccion

∫▒〖sec^m x dx〗=((sen x sec^(m-1) ))/((m-1) )+(m-2)/(m-1) ∫▒〖sec^(m-2) xdx〗

donde m=3

1/2 tanx sec x+ 1/2 ∫▒〖sec x dx-〗 In (sec x+tan x)+c

1/2 tanx sec x+ 1/2 ∫▒〖sec x dx-〗 In (sec x+tan x)+c

la integral de sec x=In (sec x+tan x)+c

1/2 tanx sec x+1/2 In (sec x+tan x)- In (sec x+tan x)+c

3.∫▒〖cos〗^5⁡〖x sen^4 xdx 〗

∫▒cos^4⁡〖x cos⁡〖x 〗 sen^4 xdx 〗

∫▒(1-sen^2 x)^2⁡〖cos⁡〖x 〗 sen^4 xdx 〗

∫▒〖(1-2sen^2 x+sen^4 x)〗⁡〖cos⁡〖x 〗 sen^4 xdx 〗

∫▒(〖sen^4 x cos〗⁡〖x 〗-2sen^6 x cos⁡x+sen^8 x cos⁡x )⁡〖dx 〗

∫▒〖〖sen^4 x cos〗⁡〖x dx〗-∫▒〖2sen^6 x cos⁡〖x dx〗+∫▒〖sen^8 x cos⁡x 〗〗 dx〗

u=sen x du= cos⁡x

∫▒〖u^4 du-2∫▒〖u^6 du+∫▒〖u^8 du 〗〗〗

u^5/5-2u^7/7+u^9/9

sustituyando a u=sen x se tiene que

(sen^5 x)/5-2(sen^7 x)/7+(sen^9 x)/9=(63 sen^5 x-90sen^7 x +35 sen^9 x )/315

4.∫▒csc⁡〖x dx〗

Aplicando la formula ∫▒csc⁡〖x dx=In (csc⁡〖x-cot⁡x 〗)〗 +c

Por lo tanto la integral es

∫▒csc⁡〖x dx=In (csc⁡〖x-cot⁡x 〗)〗 +c

5.∫▒〖(1-sen2〖x)〗^2 dx〗

u=2x dx =2 du

1/2 ∫▒〖(1-sen〖 u)〗^2 du〗

1/2 ∫▒〖〖(sen〗^2⁡〖u-2 sen⁡〖u+1〗 〗) du〗

1/2 ∫▒〖du+1/2 ∫▒〖sen^2⁡〖u du-〗 1/2 ∫▒sen⁡u du〗〗

obteniendo del formulario que ∫▒〖sen^2 〗⁡〖u du=〗 1/2 u- 1/4 sen2u

u/2+1/2 (1/2 u-1/4 sen2u)+〖1/2 cos〗⁡u+c

Sustituyendo a u=2x dx =2 du

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