COMPACTACION

Los fenómenos periódicos han fascinado por mucho tiempo a la humanidad. Nuestros ancestros conocían las recurrencias de las fases de la Luna y de ciertos planetas, las mareas de los lagos y los océanos y los ciclos del agua. El cálculo y la ley de la gravitación de Isaac Newton permitieron explicar la periodicidad de las mareas, pero Joseph Fourier y sus sucesores quienes desarrollaron el análisis de Fourier que ha tenido aplicaciones más profundas en el estudio de los fenómenos naturales y en el análisis de señales y datos.

Una Serie de Fourier es la representación de una función como una serie de constantes multiplicadas por funciones seno y/o coseno de diferentes frecuencias.

Nos sirve para poder representar cualquier señal sumando únicamente senos y cosenos que deben de tener una frecuencia múltiplo de la primera. Fourier no pudo representar matemáticamente, quien lo hizo fue Laplace, años más tarde.

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. El 16 de mayo de 1830 muere el matemático y físico francés Joseph de Fourier, años más tarde después de haber dado un salto tremendo en el desarrollo de la descripción de las señales continuas y periódicas.

3.1.1. DEFINICIÓN MATEMÁTICA DE LA SERIE DE FOURIER.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función .

Si es una función (o señal) periódica y su período es , la serie de Fourier asociada a es:

Donde , y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

donde y

A esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.

4. APLICACIONES.

El estudio y análisis dinámico de las estructuras civiles ha adquirido gran importancia en la actualidad. Las oscilaciones se producen en los elementos o sistemas estructurales debido a que tienen masas, elasticidad y una capacidad de amortiguamiento manifestado en diversas formas (Figura 03).

Figura 03.- Modelo matemático de un Edificio.

Factores como la aparición de estructuras cada vez más esbeltas, que hace que los períodos de oscilación de las estructuras sean cada vez más largos, o el aumento de velocidad de los a vehículos generan fuerzas dinámicas sobre las estructuras (Figura 04) son los motivos por los cuales la mecánica estática

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