Caída libre con resistencia al aire

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Caída libre con resistencia al aire

bajo ciertas circunstancias, un cuerpo que cae de masa m, encuentras una resistencia del aire que es proporcional a su velocidad instantánea V. si en este caso tomamos la dirección positiva dirigida hacia abajo, entonces la fuerza neta que está actuando sobre la masa está dada por F=mg - kV. aplicando la segunda ley de newton se tiene que: mg - kV = m[pic 5]

                                   la derivada de la velocidad respecto al tiempo es la aceleración

                                                                                       = [pic 6][pic 7]

                                              Si remplazamos tendremos una ecuación diferencial de primer orden

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Para esta ecuación diferencial necesitamos saber  del objeto que cae y esta constante   y conocer la velocidad inicial   sabiendo esto podemos resolver el ejercicio [pic 9][pic 10][pic 11]

Ejercicio: resuelva el PVI para   y  ¿Cuál es la máxima velocidad alcanzada por el cuerpo?[pic 12][pic 13]

Tenemos que nuestra masa era 20 esta es igual a la masa por la gravedad menos la contante multiplicada por b y tenemos la condición inicial que b es 0 es igual a la velocidad inicial es de 3m/s

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Vamos a dividir primero entre 20

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Calculamos el factor integrante

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nos queda que la derivada respecto a t del factor integrante por la función V es igual a 9.8 por la exponencial

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Si integramos en ambos lados obtenemos este factor integrante

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Queda 9.8 por esta exponencial dividido por la entre la derivada interna 49/50 mas una constante c de integración

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9.8 sobre entre 49/50 nos da 10 y nos queda

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Y si despejamos la velocidad cuando pase a dividir se simplifican y C queda multiplicado por la exponencial con exponente negativa

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Esta seria la solución general

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