Calculo Integral

Introducción

En esta lección quiero que entiendas la importancia de disponer de un “marco de referencia”. Trataré de explicarme. Para empezar, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos.

1. ¿Sabes probar que 0x = 0? Inténtalo.

2. ¿Qué entiendes por −x? ¿Es cierto que −x es negativo?

3. Escribe con palabras lo que afirma la igualdad (−x)y = −xy. ¿Sabes probarla?

4. Demuestra que si x , 0 entonces x

2 > 0 (en consecuencia 1 > 0).

5. ¿Sabes por qué no se puede dividir por 0?

6. Seguro que sabes construir un segmento de longitud √

2. ¿Y de longitud √

3?

7. ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra que

√

2 no es racional.

Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los números que has

olvidado cuándo las aprendiste. ¡Y ahora te piden que las demuestres! Puedo imaginar tu reacción ¿que demuestre que 0x = 0?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que es así!

¿cómo se puede demostrar tal cosa?.

Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio está en que no sabes qué es exactamente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situaciones

lo más frecuente es “quedarse colgado” con la mente en blanco sin saber qué hacer. Para evitar

ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va a consistir en

unas propiedades de los números (axiomas, si quieres llamarlas así) que vamos a aceptar como

punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas de inferencia lógica usuales y con definiciones apropiadas nos permitirán demostrar resultados (teoremas) que

podremos usar para seguir avanzando. Simplificando un poco, puede decirse que en matemá-

ticas no hay nada más que axiomas y teoremas (bueno, también hay conjeturas, proposiciones

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