Clasificación de una serie

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA

NUCLEO SUCRE- SEDE CUMANA

PROFESOR: BACHILLER:

INGENIERIA MECANICA

JUNIO, 2013

Serie:

Definición

Una serie es una suma infinita, o la suma de una sucesión. Se escribe

∑_(n=1)^∞▒an

Donde la sucesión es {an}, y an se llama el término general de la sucesión y de la serie.

Clasificación de una serie

Si la sucesión Sn tiene límite finito S, la serie es convergente (converge a S). a S se le llama suma de la serie.

Si lim Sn = +inf o -inf se dice que la serie es divergente.

Si Sn no tiene límite, se dice que la serie es oscilante.

Serie Geométrica.

Una serie geométrica es una serie infinita en donde la razón entre términos consecutivos es constante. Esa razón constante tradicionalmente se identifica

Con r. El primer término de la serie tradicionalmente se identifica con a. Las Constantes r y a pueden ser positivas o negativas. La fórmula de una serie geométrica siempre se puede escribir en la forma normal:

∞

∑ arn-1=a+ar+ar2+ ar3+ ar4+….

N=1

Ejemplo:

∞

∑3 (2/5)n-1=3+6+12+24+ 48+ 96+……

n=1 5 25 125 625 3025

La razón entre términos consecutivos es siempre 2

5

6/5 =12/25 =24/125 = 48/625 = 96/3025 =... 2/5

3 6/5 12/25 24/125 48/625

Esta serie es geométrica, con r=2/5 y a =3

Ejemplo:

∞

∑ n =1+2+3+4+5+…

n=1 2n+1 3 5 7 9 11

La razón entre términos consecutivos no es constante:

2 /5 = 2 3 =6/5

1/ 3 5 1

3/7 =3 5 =15/14

2/5 7 2

4/9 = 4 7 =28

3/7 9 3 27

Esta serie no es geométrica

Ejemplo

Encuentre la suma de la serie geométrica infinita

27 + 18 + 12 + 8 + •••.

Primero encuentre r:

Luego encuentre la suma:

Series armónicas.

En matemáticas, se define la serie armónica como la siguiente serie infinita:

Se llama así porque la longitud de onda de los armónicos de una cuerda que vibra es proporcional a su longitud según la serie 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7...

Propiedades:

Divergencia de la serie armónica

La serie armónica es divergente, aunque diverge lentamente (los primeros 1043 términos de la serie suman menos de 100). Esto se puede demostrar haciendo ver que la serie armónica es mayor, término por término, que esta otra serie:

Que está claro que diverge. (Esto es bastante riguroso ya que los mismos términos se agrupan de la misma manera). Esta prueba, dada por Nicolás Oresme, fue un gran paso para las matemáticas medievales.

Otras series, como la suma de los inversos de los números primos diverge, aunque esto ya es más difícil de demostrar (véase la demostración aquí).

Convergencia de la serie armónica alternada

La serie armónica alternada, sin embargo, converge:

Ésta es una consecuencia de la serie de Taylor del logaritmo natural.

Serie armónica parcial

Representación

Si definimos el n-ésimo número armónico como:

Entonces Hn crece aproximadamente tan rápido como el logaritmo natural de n. Esto es así porque la suma se aproxima a la integral

Cuyo valor es log(n).

Con más precisión,

...