Combinacion Lineal De Vectores

1) Combinación Lineal de dos Vectores

Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector se dice que es una combinación lineal de y .

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Dados los vectores , hallar el vector combinación lineal

El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores ?

2) Combinaciones Lineales Trivial Y Nula

3) Vectores Linealmente Independientes:

De la misma forma si dos vectores no tienen la misma dirección son linealmente independientes, ya que uno de estos vectores no se puede expresar como combinación lineal del otro.

En el plano tres vectores siempre son linealmente dependientes porque podemos expresar uno de ellos como combinación lineal de los otros dos.

Características de la independencia lineal:

1. Dos vectores u→ y v→ son linealmente independientes si cualquier combinación lineal de éstos igualada a cero implica que los escalares λ y μson nulos:

λu→+μv→=0→⇒λ=0 y μ=0

2. Dos vectores u→=(u1,u2) y v→=(v1,v2) son linealmente inependientes si:

u1v1≠u2v2

¿Son linealmente independientes los vectores u→=(2,3) y v→=(1,2)?

u1v1=21≠32=u2v2

Sí que son linealmente independientes.

4) Vectores Linealmente Dependientes:

Dado un conjunto de vectores decimos que son linealmente dependientes si uno de éstos se puede expresar como combinación lineal de los otros. En el plano, dos vectores u→ y v→ que tienen la misma dirección, son linealmente dependientes porque se cumple v→=λu→.

Así pues, podemos decir que todos los vectores paralelos son linealmente dependientes entre ellos, ya que todos tienen la misma dirección.

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