Compuertas Logicas

Unidad IV : Ajuste De Curvas E Interpolación.

4.1 Interpolación: Lineal y cuadrática.

4.2 Polinomios de interpolación: Diferencias divididas de Newton y de Lagrange.

4.3 Regresión por mínimos cuadrados: Lineal y Cuadrática.

4.4 Aplicaciones.

En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente. La Interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos. La Extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.

INTERPOLACION: LINEAL Y CUADRATICA.

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)

y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.

Interpolación. Elección de la interpolación más adecuada.

Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn)

Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos.

Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.

La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos es en principio de grado n: y= anxn+............+a1x+ao

Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)

Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.

La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres.

La interpolación lineal es un caso particular de la Interpolación general de Newton.

Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la funciónf(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, y se denota de la siguiente manera:

Como dijimos, cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal..

Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1. Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es:

obtenemos la fórmula de la interpolación lineal:

Interpolación lineal de una variable independiente.

Es igual que hacer integrales cerradas.

En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla, en este caso podemos tomar el más próximo al buscado, o aproximarnos un poco más por interpolación, la interpolación casi siempre nos dará un pequeño error respecto al valor de la función verdadero, pero siempre será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla, veamos como se calcula al valor de la función para un valor de la variable independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolación lineal.

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA. (Lagrange)

Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide.

Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por los puntos (x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2):

El error en la interpolación lineal resulta de aproximar una curva con una línea recta.

Estrategias:

– Disminuir el tamaño del intervalo.

– Introducir alguna curvatura en la línea que conecta los puntos.

Si tres puntos de los datos están disponibles, esto puede realizarse con un polinomio de segundo grado (parábola).

Puede utilizarse un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes.

Sustituyendo las ecuaciones anteriores, y evaluando en x = x1:

Sustituyendo nuevamente, y ahora evaluando en x = x2:

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN: DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON Y DE LAGRANGE.

Existencia de polinomio de interpolación

El problema de la interpolación tiene propiamente tres cuestiones:

Saber si tiene solución o no.

En caso de tenerla, ¿dicha solución es única o existen varias?

Y finalmente métodos de cálculo lo más eficientes posibles.

A este respecto en interpolación polinómica tenemos el siguiente resultado:

Teorema 1. Supongamos conocido el valor de una función f(x) en un conjunto de puntos distintos dos a dos x0, x1, . . . , xn. Entonces, existe un único polinomio P(x) 2 <n[x] (esto es, polinomios de grado menor o igual que n) que interpola a la función en esos puntos, es decir,P(xi) = f(xi) con i = 0, . . . , n.

La prueba más directa (con el coste de unos leves conocimientos de ´algebra) consiste en plantear el sistema lineal de ecuaciones (ahora las incógnitas son los coeficientes del polinomio P buscado) y darse cuenta de que es un sistema compatible determinado al tener matriz de coeficientes de tipo Van der Monde (con los xi distintos dos a dos) y por tanto invertible.

Otra forma inmediata de ver la unicidad de solución al problema consiste en imaginar la existencia de dos polinomios P y Q de grado n satisfaciendo la tesis del teorema.

Entonces:

P − Q es otro polinomio

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