Control 3 Reconocer las herramientas computacionales para el análisis de sistemas LTI

Objetivo: Reconocer las herramientas computacionales para el análisis de sistemas LTI por el método del lugar geométrico de las raíces de Evans mediante el estudio de ejemplos relacionados con sistemas físicos electromecánicos y de la industria de la transformación.

Marco teórico:

El método del lugar geométrico de las raíces (LGR) fue desarrollado por Walter R. Evans y consiste en examinar las trayectorias que se generan a partir de los cambios de posición en los polos de lazo cerrado con respecto a la variación de alguno de los parámetros dentro de un sistema de control de la forma:

[pic 1]

Donde [pic 2] contiene el producto de las funciones de transferencia del controlador [pic 3] y de la planta [pic 4]; y [pic 5] contiene la función de transferencia del sensor ‒ transmisor. La función de transferencia de lazo cerrado es:

[pic 6]

De donde se sabe que la estabilidad del sistema en lazo cerrado depende del polinomio característico:

[pic 7]

En general se sabe que el producto [pic 8] se puede representar en la forma ZPK mediante:

[pic 9]

Donde [pic 10] es la ganancia del sistema de lazo abierto, [pic 11] es el polinomio del numerador relacionado con los ceros del sistema y [pic 12] es el polinomio característico con los polos de lazo abierto. Sustituyendo la forma ZPK de lazo abierto en el polinomio característico de lazo cerrado, se tiene:

[pic 13]

De donde se observa que conforme [pic 14] varía de cero a infinito, la ubicación de los polos de lazo cerrado inicia en los polos de lazo abierto y termina en los ceros. Nótese que los ceros en lazo abierto o cerrado son los mismos, de modo que los únicos que cambian son los polos de lazo cerrado. En caso de que el sistema sea estrictamente propio ([pic 15]) el número de polos restantes de [pic 16] tenderán a infinito. Cabe señalar que el LGR siempre es simétrico con respecto al eje real. Algunos ejemplos de la obtención del lugar geométrico de las raíces son:

1. Para sistemas de transferencia de masa y/o energía: [pic 17]

Se tiene:

GH=tf(1,conv([1 1],[0.5 1]));

rlocus(GH)

FGH=feedback(GH,1)

figure

step(FGH)

De donde se obtienen el LGR y respuesta al escalón respectivamente:

[pic 18]

Como se observa, la respuesta temporal presenta un error en estado estacionario del 50% por lo que si se aumenta la ganancia para disminuir el error aumentarán las oscilaciones. Por ejemplo, para [pic 19] se obtiene la respuesta temporal con un error en estado estacionario aproximado de 9%, pero un aumento considerable en el sobreimpulso. Es decir:

[pic 20]

Como método de sintonización se encontró que la respuesta mejora con un algoritmo PID, lo que resulta en el esquema de lazo cerrado:

[pic 21]

Obteniéndose un LGR:

[pic 22]

Finalmente, si se busca la ganancia en la que los polos dominantes presenten un factor de amortiguamiento aparente de 1 (en el punto de ruptura) y se obtiene la ganancia de ajuste (sintonización) aproximada de [pic 23] lo que resulta en una respuesta al escalón de la forma:

[pic 24]                [pic 25]

Nótese que todas las características de respuesta temporal (transitoria y estacionaria) fueron mejoradas mediante el diseño y ajuste propuestos

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