Curvatura y radio de curvatura

Curvatura y radio de curvatura

Sean T el vector tangente unitario y N el vector normal unitario,  luego entonces |dT/ds| indicará qué tanto gira a la izquierda o a la derecha, la trayectoria de un vehículo que se desplaza sobre r(t), y se le llama curvatura de la trayectoria del vehículo.

La curvatura de una curva de una superficie plana descrita por una función vectorial, en un punto dado de la curva, mide la velocidad con la que la curva abandona la tangente en ese punto. Dicho de otra manera la curvatura indica qué tan profunda se dobla la curva descrita. Es posible encontrar la curvatura calculando la magnitud de la razón de cambio del vector unitario tangente T con respecto a la longitud de arco s.

Cuando una partícula se mueve a lo largo de una curva suave en el plano T = dr/ds cambia conforme la curva se flexiona. Como T es un vector unitario, su longitud permanece constante y sólo su dirección cambia al moverse la partícula a lo largo de la curva. La magnitud de la razón con que T cambia por unidad de longitud a lo largo de la curva se llama curvatura. El símbolo tradicional para la función curvatura es la letra griega κ (“kappa”).

Sea C una curva suave (en el plano o en el espacio), definida por r(s), donde s es el parámetro longitud de arco. La curvatura K en s está dada por:[pic 1]

Un círculo tiene la misma curvatura en todos sus puntos ya que la flexión que tiene es la misma. Un círculo con un radio grande tiene una curvatura pequeña, y un círculo con un radio pequeño tiene una curvatura grande, es decir están relacionados inversamente.

Ya conoces la profundidad o el nivel de flexión de una curva, ahora te falta conocer la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su trayectoria.

Teorema: Longitud de arco en forma paramétrica

Si una curva suave C está dada por x = f(t) y y = g(t) y C no se corta a sí misma en el intervalo a  t  b (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud del arco de C en ese intervalo está dado por:

[pic 2]

Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la curva se recorra una sola vez en el intervalo de integración.

En forma vectorial, donde C está dada por r(t) = x(t)i + y(t)j, se puede expresar esta ecuación de la longitud de arco como:

[pic 3]

La fórmula para la longitud de arco de una curva en el espacio está dada en términos de las ecuaciones paramétricas  que se usan para representar la curva.

Sea C una curva suave dada por r(t) definida en el intervalo cerrado [a, b]. Para a  t  b, la función longitud de arco está definida por:

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