DEFINICIÓN Y ORÍGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN        1

DEFINICIÓN Y ORÍGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS        2

DEFINICIÓN        2

ISOMORFISMO        6

HISTORIA        7

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS        11

POTENCIAS DE “i”, MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO        19

POTENCIAS DE “i”        19

MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO        19

FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO        20

FORMA POLAR        20

FORMA EXPONENCIAL        21

TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO        22

ECUACIONES POLINÓMICAS        23

CONCLUSIÓN        26

BIBLIOGRAFÍA        27

INTRODUCCIÓN

Los números complejos aparecieron en el mundo como una forma de solucionar problemas que los números reales no podían, tanto su invención como sus propiedades marcaron de manera significativa la existencia de las matemáticas.

Fueron propuestos inicialmente en 1545, por el matemático italiano Gerolamo Cardano. La invención de un nuevo conjunto de números supuso en el mundo de los matemáticos una gran controversia acerca de sus propiedades.

Pero para entender esto surge la pregunta, ¿Qué es un número complejo?, y para responderla es necesario también responder a la interrogante: ¿Cómo surgen?, además es necesario conocer sus propiedades y la forma de usarlos, por ellos se desarrollan esos temas en el siguiente contenido.

DEFINICIÓN Y ORÍGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

DEFINICIÓN

Los números usados en álgebra elemental y en cálculo se llaman números reales. Estos son todos aquellos que pueden representarse geométricamente por los puntos de una línea recta infinitamente larga.

[pic 1]

La línea se divide en intervalos por medio de puntos equidistantes que representan a cada uno de los enteros, con los números reales positivos a la derecha del cero y los reales negativos a la izquierda. Todo número real se representa por un solo punto sobre la línea. Estos números satisfacen las cinco reglas algebraicas siguientes, también llamados axiomas de campo:

1. Leyes conmutativas

[pic 2]

2. Leyes asociativas

[pic 3]

3. Leyes distributivas

[pic 4]

4. Identidades. La identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 satisfacen que  y[pic 5]

[pic 6]

5. Inversos. Cada número real  tiene un inverso aditivo  y, si  un inverso multiplicativo que satisface[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

[pic 11]

Sin embargo, los números reales tienen una deficiencia básica: no proporcionan todas las soluciones posibles de las ecuaciones polinomiales. Por ejemplo, la ecuación  no puede resolverse usando números reales, ya que el cuadrado de cualquier número real es no negativo.[pic 12]

No obstante, podemos corregir este defecto si definimos el conjunto de números complejos C, que se forma de todos los pares ordenados

[pic 13]

de números reales  y , con las siguientes operaciones de suma y multiplicación:[pic 14][pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Como los números complejos se representan por pares ordenados de números reales, podemos asignar el punto en el plano Cartesiano con coordenadas  y  al número complejo .[pic 18][pic 19][pic 20]

Si denotamos  al vector que va desde el origen hasta el punto  y usásemos este modelo para cada número complejo, la suma de dos números complejos  corresponderá a la ley del paralelogramo para la suma vectorial.[pic 24][pic 21][pic 22][pic 23]

También se pueden utilizar los vectores para interpretar la multiplicación de dos números complejos:

[pic 25]

Se debe notar que:

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[pic 27]

Y que el vector  se alarga o se acorta por un factor  si  y también se refleja con respecto al origen si . [pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

[pic 32]

Además . Si se usan triangulos semejantes, se puede notar que al multiplicar cualquier número complejo por , el vector rota    radianes en sentido contrario a las manecillas del reloj. [pic 33][pic 34][pic 35]

Puesto que ,, entonces . Dado esto el producto de  y  se puede expresar de la siguiente forma:[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

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Por lo tanto, la multiplicación compleja involucra la suma de dos alargamientos de (a, b), con el segundo de ellos rotado    radianes en sentido contrario al de las manecillas del reloj.[pic 44]

[pic 45]

Ejemplo:

 [pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

Luego entonces, el conjunto de números complejos incluye los números reales.

Como

[pic 49]

si representamos  por  y denotamos  por el simbolo , podemos reescribir  en la forma [pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

[pic 55]

Esta es la notación estándar para los números complejos. El simbolo  se llama unidad imaginaría, y satisface la propiedad [pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

El origen del sistema coordenado se denota por el número complejo 0. El modelo de plano Cartesiano de los números complejos se llama plano complejo.

Cuando nos referimos al número complejo , llamamos a  parte real de , y la denotamos por . El número  llamado parte imaginaria de , se denota por . Si , tendremos , y entonces se dice que  es imaginario puro.[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]

En resumen se puede definir los números de la siguiente forma:

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