DEMOGRAFIA SOCIAL

AREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Sabemos que toda curva representa una función, que se puede ilustrar en el plano cartesiano. Si giramos la curva alrededor de uno de sus ejes, se genera una Superficie de Revolución, el objetivo es determinar el área de la superficie generada.

En la gráfica el giro se esta realizando

alrededor del eje x. y = f(x) denota una curva suave, con a £ x £ b . Subdividimos elintervaloa=xo <x1 <x2 <...<xn =b

Así la curva se divide en n partes.

Sea ∆si la longitud de i­ésimo pedazo de la

superficie y yi la ordenada, al girar se observa la banda de color amarillo que se forma. El área se puede aproximar por la de unconotruncado;esdecir, 2pyiDsi

Al sumar las áreas de todas las bandas y tomando el límite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos lo que llamamos el área de la superficie de revolución.

n A = Lim  2pyi Dsi Aplicando los principios de sumatorias y límites:

pÆ0 i=1 b

A = 2p Ú f (x)ds a

Como ds es el diferencial de longitud y equivale a:

1+ (f '(x))2 dx, reemplazando, obtenemos finalmente la ecuación del área de una superficie de revolución.

Área generada de la curva f(x) alrededor del eje x:

b A=2pÚf(x) 1+(f'(x))dx

a

2

Para calcular áreas de de superficies de revolución, se puede utilizar las integrales ordinarias, pero en muchas ocasiones se requiere un método de aproximación conocido como los métodos numéricos.

Ejemplo 1:

Hallar el área de la superficie generada al rotar sobre el eje x la función y = x2 en el intervalo [0, 1]

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