Dependencia Lienal

Linealización

Objetivo General

• Linealizar modelos.

Objetivos específicos

• Linealizar modelos básicos que se presentan en ciencias naturales.

• Hacer regresión lineal por medio del método de mínimos cuadrados.

Introducción

Generalmente el modelo que representa un fenómeno natural no es una función lineal (es decir, su

gráfica no es una línea recta). Sin embargo como los modelos lineales son más fáciles de analizar, se

puede tratar de convertir las funciones a la forma lineal, lo cual en muchas situaciones es posible. A

este procedimiento se le denomina linealización. Métodos que permiten linealizar algunos modelos

son:

• La logaritmación

• Cambio de variables

Por logaritmación

Entre los modelos que permiten linealización mediante la logaritmación están:

• La función potencial.

• La función exponencial.

La función potencial

La función

se linealiza a través de los logaritmos,

Cambiando variables,

se obtiene,

y = bx a

log y = a log x + logb

log y ≡ y' log x ≡ x' log b ≡ b'

y'= ax'+b'

Linealización

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Escuela de Física, Sede Medellín

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Es decir, si en la función potencial se grafica log y vs log x se obtiene la ecuación de una línea

recta.

La función exponencial

La función

se linealiza a través de los logaritmos,

Cambiando variables,

se obtiene,

Es decir, si en la función potencial se grafica ln y vs x se obtiene la ecuación de una línea recta.

Por cambio de variables

En los siguientes ejemplos se ilustrarán modelos que mediante el adecuado cambio de variables

quedan linealizados.

Ejemplo 1

Supóngase que se tiene un sistema masa-resorte oscilando. El modelo teórico afirma que, suponiendo

que el alargamiento del resorte es proporcional a la carga aplicada (peso de la masa, m,

acoplada al resorte), el período de oscilación, P, de la masa oscilante es:

siendo k, la constante elástica del resorte. Esta ecuación se puede transformar en,

y al graficar P 2 vs m se obtiene una línea recta con pendiente,

a x y be =

Ln y = ax+ Ln b

Ln y ≡ y' Ln b ≡ b'

y ' = ax + b'

k

m

P = 2π

m

k

P

4 2

2 π

=

k

a

2 4π

=

Linealización

Maestría en Enseñanza de las Ciencias

Exactas y Naturales

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Ejemplo 2

Para pequeñas oscilaciones, en el modelo teórico se afirma que

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