Derivadas Cruzadas

DERIVADAS CRUZADAS

Teorema de Swartz: Igualdad de las derivadas parciales

Si z = f(x,y) es una función tal que f , están definidas y además las derivadas cruzadas son continuas en una región abierta R, entonces, para cada (x,y) R se cumple que las derivadas cruzadas son iguales

Veremos ahora un ejemplo en el que las derivadas cruzadas no son iguales por que la función f(x ,y) no tiene derivadas cruzadas continuas en (0,0)

Calcular las derivadas cruzadas de la siguiente función en (0,0) por definición:

xy . x2 - y2 si (x ,y) (0,0)

x2 + y2

f(x,y) =

0 si (x,y) = (0,0)

Por definición de derivada parcial cruzada de segundo orden :

f (h,0) - f(0,0)

 2 f (0,0) = lim y y ( A )

x y h0 h

Pero como no conocemos los valores de las derivadas que aparecen en el numerador del cociente debemos calcularlas:

h k . h 2 – k2 - 0

f (h,0) = lim f (h,k) - f (h,0) = lim h 2 + k2 = h

y k0 k k0 k

f (0,0) = lim f (0,k) - f (0,0) = lim 0 - 0 = 0

y k0 k k0 k

Reemplazando los valores obtenidos en la fórmula (A), nos queda:

 2 f (0,0) = lim h - 0 = 1

x y h0 h

Proponemos al alumno que calcule la  2 f (0,0) de manera similar y obtendrá como

y x

resultado el valor - 1, demostrando así que las derivadas cruzadas no son iguales .

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