Derivas Al Medio Ambiente

Aplicaciones de las derivadas en el medio ambiente

Para estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un árbol se supone que el mismo tiene la forma de cono truncado como indica la figura.

Siendo:

r el radio de la base superior; R el radio de la base inferior y h la altura.

Recordando que el volumen V de un tronco de cono está dado por la expresión:

V = 1 /3 .π.h.( R2+R.r+r2 ) te preguntamos:

¿Cuál es la rapidez de variación del volumen V en el momento en que: r =60cm ,

R = 90 cm y h = 15m, si el incremento de r es de 10 cm / año, el incremento de R

es de 15 cm / año y el de h de 25 cm / año?

El volumen del tronco de cono al cual asimilamos la cantidad de madera que puede extraerse del árbol, es:

Contaminación

Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C de monóxido de carbono CO2 en el aire , en partes por millón (ppm) , en una ciudad , está relacionado con la población p expresada en miles de habitantes por la siguiente expresión

El aumento de población en esa ciudad en t años se estima que está dado por la relación siguiente: p(t) = 3,1 + 0,1 t2 en miles de habitantes.

¿Con qué rapidez crees que estará variando la concentración de CO2 en esa ciudad dentro de 3 años?

Como la concentración C es función de la población p y ésta es función del tiempo t, resulta ser C función compuesta de t.

Debes calcular la derivada de la concentración respecto del tiempo, para lo cual podemos previamente hallar la función compuesta y luego derivar.

Tendremos entonces:

Derrame de Petróleo

Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petróleo.

Calcular con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m si el espesor disminuye a razón de 10 hora/cm en el instante en que R = 50 m.

Debes hallar en este ejercicio la velocidad con que aumenta el radio R a medida que la mancha se expande sobre la superficie del mar, en el instante en que R = 50m.

Podríamos pensar en hallar la expresión R(t) para derivarla posteriormente.

Sin embargo no se te indica como dato del problema la forma en que el espesor h varía con el tiempo por lo que no lograremos encontrar R(t).

Debes encarar el ejercicio partiendo de la relación entre R y h que nos proporciona el volumen de la mancha que sabemos se mantiene constante.

Tendremos:

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