Dibujo de la elipse

na elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Elipse

Índice

1 Historia

2 Elementos de una elipse

2.1 Puntos de una elipse

2.2 Ejes de una elipse

2.3 Excentricidad de una elipse

2.4 Excentricidad angular de una elipse

2.5 Constante de la elipse

2.6 Directrices de la elipse

2.7 Elementos gráficos de la elipse

2.7.1 Nomenclatura

2.7.2 Diámetros conjugados

2.7.3 Rectas directrices

3 Dibujo de la elipse

3.1 Elipse “del jardinero”

3.2 Modo de determinar los focos

3.3 Método de radios vectores

3.4 Método de la tarjeta, compás de Arquímedes

3.5 Construcción por afinidad

3.5.1 Por afinidad, a partir de conjugados

3.5.2 Por afinidad, dentro de un paralelogramo

3.6 Por haces proyectivos

3.7 La elipse como hipotrocoide

3.8 Anamorfosis de una circunferencia en una elipse

4 Ecuaciones de la elipse

4.1 En coordenadas cartesianas

4.1.1 Forma cartesiana centrada en el origen

4.1.2 Forma cartesiana centrada fuera del origen

4.2 En coordenadas polares

4.2.1 Forma polar centrada en origen

4.2.2 Formas polares centradas en un foco

4.3 Formas paramétricas

4.4 Área interior de una elipse

4.5 Perímetro de una elipse

4.6 Propiedades notables

5 La elipse como cónica

6 Elipses semejantes

7 La elipse en mecánica celeste

8 Véase también

9 Referencias

10 Enlaces externos

Historia

Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro de Tebas (Egipto).

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol.2

Elementos de una elipse

La elipse y algunas de sus propiedades geométricas.

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y

el semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).

Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.

Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:

P F_1 + P F_2 = 2a \,

donde a \, es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipse

El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.

Excentricidad de una elipse

La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

Elipse1.0.jpg

\varepsilon=\frac{c}{a} , con (0\le\varepsilon\le1)

Dado que c = \sqrt{a^2-b^2} , también vale la relación:

\varepsilon=\sqrt{\cfrac{a^2-b^2}{a^2}} =\sqrt{1- \frac{b^2}{a^2} }

o el sistema:

\begin{cases} \varepsilon=\cfrac{c}{a}\\ c = \sqrt{a^2-b^2} \end{cases}

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.3 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.

(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).

Excentricidad angular de una elipse

La excentricidad angular \alpha es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad \varepsilon, esto es:

\alpha=\sin^{-1}(\varepsilon)=\cos^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)=2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\right);\,\!

Constante de la elipse

Animación elipse.gif

En la figura de la derecha se muestran los dos radio vectores correspondientes a cada punto P de una elipse, los vectores que van de los focos F1 y F2 a P. Las longitudes de los segmentos correspondientes a cada uno son PF1 (color azul) y PF2 (color rojo), y en la animación se ilustra como varían para diversos puntos P de la elipse.

Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor:

PF1 + PF2 = 2a

En la elipse de la imagen 2a vale 10 y se ilustra, para un conjunto selecto de puntos, cómo se cumple la definición.

Directrices de la elipse

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver

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