ECUACIÓN DE UNA VARIABLE.

ECUACIÓN DE UNA VARIABLE

Luego de repasar las operaciones con números reales pasaremos a conocer las ecuaciones de primer grado en una variable.

Una ecuación es una igualdad de dos expresiones matemáticas. Una ecuación de primer grado en una variable es una ecuación en la que aparece una variable elevada al exponente uno. A estas ecuaciones también se le conocen como ecuaciones lineales en una variable. La variable puede aparecer por más de una ocasión, por ejemplo, en la ecuación 5n – 3 = 3n + 1 es una ecuación de primer grado en una variable. Observa que la variable n aparece dos veces pero ambas elevadas al exponente uno. Otros ejemplos de ecuaciones lineales en una variable son: 5x + 1 = 16; 2(x + 1) – 3 = x + 5.

Resolver una ecuación de primer grado en una variable consiste en hallar el valor de la variable que hace cierta la igualdad. A este valor se le conoce como la solución o la raíz de la ecuación. Por ejemplo, ¿es 2 una solución de la ecuación 5n – 3 = 3n + 1? Si lo es, pues al sustituir el valor de 2 en la ecuación observamos que es cierta la igualdad:

5(2) – 3 = 3(2) + 1

 10 – 3 = 6 + 1

 7 = 7 Cierto

Lo que hacemos para resolver una ecuación de primer grado en una variable es despejar para la variable, es decir, dejarla a un lado de la ecuación y escribir las constantes (los números) al otro lado de la ecuación usando las propiedades correspondientes:

1. Si a = b, entonces a + c = b + c y a – c = b – c.
2. Si a = b y c ≠0

Ecuaciones lineales Una ecuación es lineal, si las expresiones a ambos lados del signo de igualdad son polinomios de grado 1 o 0, donde por lo menos uno de ellos es de grado 1. Ejemplos: grado 1 grado 0 grado 0 grado 1 grado 1 grado 1 2x + 3 = 8 -4 = 6(2x – 5) + 3.

Solución de una ecuación lineal La solución de una ecuación, es el valor que se le asigna a la variable para que ambos lados de la ecuación sean equivalentes. Decimos que este valor satisface la ecuación. La solución de ecuación lineal es única.

Ejemplo 1: Determine si x = 2 es solución de: 4x – 1 = 6x + 2 Sustituimos 2 en la x y tenemos: 4(2) – 1 = 6(2) + 2 8 -1 = 12 + 2 7 = 14 falso.  Concluimos que x=2 NO es solución de la ecuación 4x – 1 = 6x + 2.

¿Cómo resolvemos una ecuación lineal?

El signo de igualdad nos indica que existe un balance entre dos expresiones; o sea que son equivalentes. Para mantener ese balance, si aplicamos alguna operación matemática a un lado de la ecuación, hay que aplicar la misma operación al otro lado de la ecuación.

¿Cómo resolvemos una ecuación lineal?

Para resolver una ecuación, tenemos que transformar la ecuación original en una equivalente, pero más sencilla.

• Lo más sencillo que puede estar una ecuación es con la variable sola en un lado y un valor en el otro.

• Para crear una ecuación equivalente pero más sencilla, podemos sumar, restar, multiplicar o dividir por cualquier número distinto de cero, en ambos lados de la ecuación.

Solución de una ecuación lineal

 Ejemplo 2: Determine si x = -1 es solución de: 3x – 1 = 6x + 2 Sustituimos -1 en la x y tenemos: 3(-1) – 1 = 6(-1) + 2 -3 -1 = -6 + 2 -4 = -4 cierto

Por lo tanto concluimos que x = -1 SÍ es solución de la ecuación 3x – 1 = 6x + 2.

Resolver: 2x – 3 = 7,  Sumar 3 entre ambos lado y dividir 2 en ambos lados.

2x – 3 + 3 = 7 + 3    

2x + 0 = 10

2x = 10

2/ 2 = 10 /2   x=5

Esta es equivalente a la primera, pero más sencilla. Ahora sabemos cuál es la solución. Verificando: 2x – 3 = 7

2(5) – 3 = 7

 10 – 3 = 7

 7 = 7 cierto

ECUACIÓN CUADRATICA Y APLICACIÓN

Ecuación polinómica en la que la mayor potencia de la variable es dos. La forma general de tales ecuaciones en la variable x es

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son constantes.

Generalmente, existen dos valores de x que pueden satisfacer la ecuación, y son:

[pic 1][pic 2]

En las coordenadas Cartesianas, la gráfica de una función cuadrática y = ax2 + bx + c es una parábola. Las soluciones x1 y x2 representan los puntos donde la gráfica cruza el eje x. Si la gráfica cruza dos veces el eje, existen dos raíces reales distintas. Si la gráfica toca al eje x en un punto, las dos raíces son iguales. Si la gráfica no cruza el eje x, no existen raíces reales. En este caso, el discriminante es negativo y las raíces son dos números complejos conjugados.

...