EL PROBLEMA GENERAL DE INTERPOLACION

EL PROBLEMA GENERAL DE INTERPOLACION

En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una tabla de valores de una función desconocida o difícil de manejar, y nos interesaría sustituirla por otra más sencilla (por ejemplo, un polinomio) que verifique la tabla de valores. Este es el problema de interpolación polinómica que introduciremos en este tema de forma abstracta: El Problema General de Interpolación (P.G.I.) se plantea de la siguiente manera:

Sea L un espacio vectorial de dimensión N sobre R. Sean F1, . . . , Fn ∈ L ∗ , esto es, N aplicaciones lineales Fi : L −→ R, i = 1, . . . , N. Entonces, dados w1, . . . , wn ∈ R, encontrar f ∈ L tal que:

Fi(f) =  , ∀i = 1, . . . , N.[pic 1]

Teorema 1.- (Existencia y unicidad de solución del P.G.I.) Son equivalentes:

 1. Existe un ´único elemento f ∈ L tal que Fi(f) = si, ∀i = 1, . . . , N.

2. 0 es el ´único elemento de L tal que Fi(f) = 0, ∀i = 1, . . . , N.

3. Para cualquier base {f1, . . . , fN} de L se tiene que det(Fi(fj)) 6= 0.

4. Existe, al menos, una base {f1, . . . , fN} de L tal que det(Fi(fj)) 6= 0.

5. {F1, . . . , FN} son linealmente independientes en L ∗ . (Y, por tanto, son base de L ∗ )

En caso de que el P.G.I. tenga solución ´única, esta puede caracterizarse mediante el siguiente resultado:

Teorema 2 .- (Representación de Lagrange)

 Sea L un espacio vectorial de dimensión N sobre R. Sea {F1, . . . , FN} una base de L ∗ . Sea {f ∗ 1 , . . . , f ∗ N} su base dual, es decir: Fi(f ∗ j ) = δij, ∀i, j = 1, . . . , N.

Entonces, dados w1, . . . , wN ∈ R, el ´único elemento f ∈ L tal que: Fi(f) = wi , ∀i = 1, . . . , N se escribe de la forma:  .[pic 2]

Interpolación de HERMITE

 Sean x0, x1, . . . , xn, (n+1) puntos distintos de R. Sean w0, w1, . . . , w2n+1, (2n + 2) valores reales arbitrarios. Entonces existe un único polinomio P(x) de grado ≤ 2n + 1 tal que

P(xi) =  , ∀i = 0, 1, . . . , n,[pic 3]

P 0 (xi−(n+1)) =  , ∀i = n + 1, . . . , 2n + 1.[pic 4]

Para demostrarlo basta tomar en el Teorema 1:

L = P2n+1(R), N = 2n + 2,

Fi : p ∈ P2n+1(R) → Fi(p) = p(xi) ∈ R, i = 0, . . . , n,

Fi : p ∈ P2n+1(R) → Fi(p) = p 0 (xi−(n+1)) ∈ R,

i = n + 1, . . . , 2n + 1.

 Al polinomio P(x) se le llama polinomio de interpolación de Hermite.

La base dual, que denominaremos {h0, . . . , h2n+1}, viene dada por:

hi(x) = l 2 i (x) [1 − π 00(xi) π 0 (xi) (x − xi)], i = 0, . . . , n,

hi(x) = (x−xi−(n+1))l 2 i−(n+1)(x), i = n+ 1, . . . , 2n+ 1

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