Ejemplo De Relación Entre El cálculo Diferencial E Integral.

Parte 1.- ilustrar la relación entre el cálculo diferencial (Problema sobre la tasa de cambio ó pendientes de una función) con:

Parte 2.- el cálculo integral (Problema sobre el cálculo de áreas y volúmenes en revolución de la misma función) empleando valores límites.

Parte 1 CÁLCULO DIFERENCIAL.

Como principio, sea una función de y con respecto a x:

–

Como bien sabemos, ésta función determina una curva con características particulares sobre el plano x-y.

Ahora bien para encontrar algunas de éstas características particulares primero debemos derivar dicha función de tal manera que:

Ya con ésta derivada podemos calcular lo siguiente:

Punto A) La inclinación en éste punto de la curva cuando x = 1 se encuentra sustituyendo éste valor para encontrar dicha tangente al ángulo τ a la curva:

De tal manera que τ = y/o

Punto B) Usando el mismo procedimiento para encontrar la inclinación τ cuando x = 3

De tal manera que τ =

Punto C) Hallar los puntos donde la curva es paralela a las abscisas (sobre el eje x).En estos puntos, el valor de la pendiente en y = 0, por lo que éste es el valor de la derivada, de tal manera que:

Ahora podemos resolver la derivada mediante la fórmula cuadrática:

, sustituyendo valores obtenemos dos valores para x: x = 0 y x´=2. Estos valores los sustituimos en la función original para obtener el valor de las ordenadas (valores en y):

– , obteniendo: y =2 y y´= .

Por lo que las coordenadas de los puntos serán (0,2) y (2, ). Paralelos al eje x.

Punto D) Los puntos donde τ = .

Para ésta condición, la pendiente (tan τ = tiene un valor de 1, de tal manera que:

= τ = = 1 por tanto , sustituyendo en la fórmula cuadrática tenemos:

Obteniendo los valores x =2.415 y x´= -0.415 que a su vez se vuelven a sustituir en la función original para obtener los valores en y:

– , obteniendo: y = 0.863 y y´= 1.804. Por lo que las coordenadas quedarán de la siguiente manera: (2.415, 0.863) y (-0.415, 1.804).

Punto E) Los puntos donde la dirección de la curva es paralela a la recta 2x – 3y = 6 (recta representada como AB):

Como primer paso reacomodamos para obtener la función de y con respecto a x.

Y = de tal manera que y = - 2 y derivando por pasos: y + ∆y = (x + ∆x) -2

Restando la función original y + ∆y = x + ∆x -2

-y = x +2

∆y = ∆x

...