Ejemplo de exámen con Mathematica

1º - Considera el intervalo [a,b] donde a = 2.29604 y b = 4.07885.

a) Representa juntas las funciones y1(x) = - 4cos(x)·Ln(ex - pi); y2(x) = 3 / 5 - 5sin

(3x) en [a,b].

f[x_] = -4*Cos[x]*Log[Exp[x - Pi]]

-4 Cos[x] Log[E^(-\[Pi] + x)]

g[x_] = 3/5 - 5*Sin[3*x]

3/5 - 5 Sin[3 x]

Plot[g[x], {x, 2.29604, 4.07885}]

[pic 1]

Plot[{f[x], g[x]}, {x, 2.29604, 4.07885}]

[pic 2]

b) Si calculamos la integral                       obtenemos ______, que no es el

área comprendida entre los dos arcos.

Integrate[g[x] - f[x], {x, 2.29604, 4.07885}]

1.07044

c) Halla el punto interior de ]a,b[ donde se cortan ambas curvas:

c1 = ____

FindRoot[f[x] == g[x], {x, 3}]

{x -> 3.08674}

d) El área comprendida entre los dos arcos en el primer tramo es ____,

y la comprendida en el segundo tramo es ____ .

Integrate[f[x] - g[x], {x, 2.29604, 3.0867400723448597`}]

1.36234

e) El área total comprendida entre los dos arcos es ____.

Integrate[g[x] - f[x], {x, 3.0867400723448597`, 4.07885}]

2.43278

%14 + %15

3.79511

2º - Representa conjuntamente los arcos de las curvas de coordenadas polares:

r1(a) = 4(1 + cos(a))

r2(a) = 45 / (5 + 6a)

para a entre 0 y pi.

El primer objetivo es calcular el área comprendida entre los dos arcos.

PolarPlot[4 + 4*Cos[a], {a, 0, Pi}]

[pic 3]

PolarPlot[{4 + 4*Cos[a], 45/(5 + 6*a)}, {a, 0, Pi}][pic 4]

En primer lugar debemos hallar los valores de a en ]0,pi[ en los que ambos arcos

se cortan

0 < a1 = ____ < a2 = ____ < pi.

FindRoot[4 + 4*Cos[a] == 45/(5 + 6*a), {a, 0, Pi/2}]

{a -> 0.106847}

FindRoot[4 + 4*Cos[a] == 45/(5 + 6*a), {a, Pi/2, Pi}]

{a -> 1.88669}

Ahora ya puedes calcular el área comprendida entre los dos arcos desde a1 hasta

a2:

A1 = ____

1/2*Integrate[(4 + 4*Cos[a])^2 - ((45/(5 + 6*a))^2), {a, 0.1068474815445`, 1.88669233`}]

13.6803

Y además, el volumen de revolución obtenido al girar el arco de la

cardioide (curva r1) entre a1 y a2, una vuelta completa alrededor del eje polar es:

V = ____.

(2/3)*Pi*NIntegrate[(4 + 4*Cos[a])^3*Sin[a], {a, 0.10684748113065445`,  1.8866375050988`}]

522.51

3º - Utiliza para los resultados sólo números decimales con 6 dígitos

significativos.

Considera una curva plana cuya expresión en coordenadas paramétricas es

(t2 - 5cos(t/2) , 3/t3 - 3.5sin(2t) -1)     para    1 < t < pi

Halla los valores de t comprendidos entre 1 y pi para los que la curva corta el eje

de abscisas:

t1 = ____ < t2 = ____

Clear[x, y]

x[t_] = t^2 - 5*Cos[t/2]

t^2 - 5 Cos[t/2]

y[t_] = 3/t^3 - 3.5*Sin[2*t] – 1

-1 + 3/t^3 - 3.5 Sin[2 t]

FindRoot[y[t] == 0, {t, 2}]

{t -> 1.61124}

FindRoot[y[t] == 0, {t, Pi}]

{t -> 3.01299}

Representa gráficamente la curva desde t1 hasta t2.

ParametricPlot[{x[t], y[t]}, {t, 1, Pi}]

[pic 5]

Halla el área encerrada entre el arco y el eje desde t1 hasta t2. Resulta A = ____.

...