El Binomio De Newton

El Binomio de Newton

Definición

Un binomio es un polinomio formado por dos términos. Newton desarrolló la fórmula para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.

La fórmula del Binomio de Newton

Sirve para calcular las potencias de un binomio utilizando números combinatorios.

Mediante esta fórmula podemos expresar la potencia (a + b)n como una suma de varios términos, cuyos coeficientes se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia.

Potencias Desarrollos Coeficientes

(a + b)1 a + b 1

(a + b)2 a2 + 2ab + b2 1 2 1

(a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab3 + b2 1 3 3 1

(a + b)4 a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 4 6 4 1

Se observa que:

• Los coeficientes de los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a + b)4 son, respectivamente, los números de las filas segunda, tercera y cuarta del triángulo de Tartaglia.

• Los desarrollos de (a + b)2, (a + b)3 y (a + b)4 son polinomios completos y ordenados en a y b, decrecientes respecto de a y crecientes respecto de b.

• El grado de cada uno de los monomios (suma de los exponentes de a y b) es, en cada caso, igual al exponente de la potencia.

Estas observaciones son válidas para cualquier exponente.

ab4 + b5

Generalizando, se obtiene la fórmula del binomio de Newton:

( a + b ) n = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n - 1 b + ( n 2 ) a n - 2 b 2 + ... + ( n n - 1 ) a b n - 1 + ( n n ) b n

Para obtener (a - b)n se desarrolla (a + (-b) n.

Así, resulta un desarrollo en el que los términos son alternativamente positivos y negativos.

( a - b ) n = ( a + ( - b ) ) n = = ( n 0 ) a n ( - b ) 0 + ( n 1 ) a n - 1 ( - b ) 1 + ( n 2 ) a n - 2 ( - b ) 2 + ... = = ( n 0 ) a n - ( n 1 ) a n - 1 b + ( n 2 ) a n - 2 b 2 - ( n 3 ) a n - 3 b 3 + ... ± ( n n ) b n.

Teorema del Binomio

El coeficiente de xn − kyk en el desarrollo de (x + y)n es

En matemática, el teorema del binomio es un resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una suma. Este teorema establece:

Donde recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos. Usualmente el teorema de los binomios se expresa en la siguiente variante:

Usando la fórmula para calcular el valor de (que también es representado ocasionalmente como C(n,k) o ) se obtiene una tercera representación:

Como ejemplo, para n=2, n=3, n=4:

(2)

Para obtener la expansión de las potencias de una resta, basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:

Teorema generalizado del binomio (Newton)

Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:

(3)

Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número

real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:

(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).

Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.

Calcular Binomio

Para calcular un Binomio de Newton estilo podemos hacer de forma sencilla:

Leyes del Movimiento de Newton

Las leyes del movimiento tienen un interés especial aquí; tanto el movimiento orbital como la ley del movimiento de los cohetes se basan en ellas. Newton planteó que todos los movimientos se atienen a tres leyes principales formuladas en términos matemáticos y que implican conceptos que es necesario primero definir con rigor. Un concepto es la fuerza, causa del movimiento; otro es la masa, la medición de la cantidad de materia puesta en movimiento; los dos son denominados habitualmente por las letras F y m. "Las tres leyes del movimiento de Newton" se enuncian abajo en palabras modernas: como hemos visto todas necesitan un poco de explicación.

Primera Ley del Movimiento de Newton

El primer ejemplo de movimiento y, probablemente, el único tipo que se podía describir matemáticamente antes de Newton, es el de la caída de objetos.

No obstante existen otros movimientos, de manera especial movimientos horizontales, en los que la gravedad no juega un papel principal. Newton se aplicó también a ellos.

Considere un disco de hockey deslizándose sobre la superficie helada. Pueden viajar grandes distancias y cuanto más liso sea el hielo, más allá irá. Newton observó que, a fin de cuentas, lo que para estos movimientos es importante es la fricción sobre la superficie. Si se pudiera producir un hielo ideal completamente liso, sin fricción, el disco continuaría indefinidamente en la misma dirección y con la misma velocidad.

Ejemplo de la primera ley: "el movimiento en línea recta a velocidad constante no requiere ninguna fuerza". Sumar este movimiento a cualquier otro no trae ninguna nueva fuerza en juego, todo queda igual: en la cabina de un avión moviéndose en línea recta a la velocidad constante de 600 mph, nada cambia, el café sale de la misma forma y la cuchara continua cayendo en línea recta.

1. En ausencia de fuerzas, un objeto ("cuerpo") en descanso seguirá en descanso, y un cuerpo moviéndose a una velocidad constante en línea recta, lo continuará haciendo indefinidamente.

2. Cuando se aplica una fuerza a un objeto, se acelera. La aceleración es en dirección a la fuerza y proporcional a su intensidad y es inversamente proporcional a la masa que se mueve:

a = k(F/m)

donde k es algún número, dependiendo de las unidades en que se midan F, m y a. Con unidades correctas (volveremos a ver esto), k = 1 dando

a = F/m

ó en la forma en que se encuentra normalmente en los libros de texto

F = m a

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