El Hexaflexágono

El Hexaflexágono 

        En el campo de las matemáticas existen diversos fenómenos relacionados a su presencia en la naturaleza, tales como los fractales en las plantas, las serie de Fibonacci en la reproducción de animales, el uso de épsilon como factor estético de algunas edificaciones, etc. Con frecuencia nos topamos, más que con particularidades numéricas, con fenómenos de topología. Un gran ejemplo de esto son los caleidociclos, objetos armónicos que giran y vuelven al punto de inicio, tomados además, como una forma de arte matemático.

        “Caleidociclo” deriva de las voces griegas cali (belleza), eidos (forma) y ciclo (anillo).  Tanto los modelos planos como los tridimensionales son en mayoría empleados como juguetes y pasatiempos relajantes. Dentro de los tridimensionales encontramos el Cubo de Yoshimoto (un cubo transformable a una estrella de ocho puntas), el milagro de Shinsei, el Cubo de Schatz, la escalera de Jacob, entre otros. Respecto a los bidimensionales y quizá los más curiosos, se encuentran los flexágonos, caracterizados por sus cambios de forma y de color.

        Fueron descubiertos en 1939 por Arthur Stone, mientras plegaba distraídamente restos de papel caídos sobre su carpeta. Había creado una figura con forma hexagonal regular cuya peculiaridad era que al juntar tres puntas alternas y abrir el centro como si fuese una flor, se ocultaba una cara y se descubría una nueva. Este tipo de doblez “traslatorio” es el flexado. Su primer modelo (accidental) ocultaba solamente una cara; luego logró construir uno que ocultase cuatro. Para nombrarlos unió los términos “flexar y “hexágono” (características principales del objeto), obteniendo como resultado “flexágono”. Luego de que estos se convirtieran en una afición para sus compañeros de universidad, formó junto a Bryan Tuckerman, Richard P. Feymann y John W. Tukey el Princeton Flexagon Committee.

        La nomenclatura de los flexágonos está determinada por prefijos referentes al número de caras totales y el número de triángulos por cara; es así que el primer flexágono de Stone se denominaría como “Trihexaflexágono” y el segundo como “HexaHexaflexágono”. En este último por lo general se suele suprimir el primer sufijo, teniendo solo “Hexaflexágono”. En la actualidad existen diversos flexágonos con siete, ocho, nueve, hasta 12 caras totales y de diversas formas, como el dodecaflexágono o el octaflexágono. También se encuentran modelos tridimensionales como el flexicubo.

Construcción de un hexaflexágono:

        Los moldes a partir de los cuales se construyen estos modelos varian en extensión y forma. Centrándonos solamente en el hexaflexágono, uno de los más sencillos, notamos una estructura lineal y marcada por dos filas de patrones: la de arriba con la secuencia ABC intercalado de uno en uno y la fila de abajo con la secuencia DEF intercalado de dos en dos, así como en la siguiente figura:

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Imagen 1: Patrones de distribución

        Para hacer más fácil el desrrollo de su construcción atribuiremos colores a las letras predeterminadas:

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