El concepto de algebra de Вoole

ALGEBRA DE BOOLE

PAOLA ARDILA ARIZA

ANDRÉS LINARES GUTIERREZ

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA INDUSTRIAL

BOGOTÁ

2013

ALGEBRA DE BOOLE

PAOLA ARDILA ARIZA

ANDRÉS LINARES GUTIERREZ

LOGICA MATEMATICA

DOCENTE: DONALDO ELIAS SALAS SIADO

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA INDUSTRIAL

BOGOTÁ

2013

INTRODUCCIÓN

Se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic, publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of Thought, publicado en 1854.

En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

Al análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos.

Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.

Luego en 1938 Claude Shannon propuso que con esta algebra es posible modelar los llamados Sistemas Digitales.

El Algebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 ó 1. Y las operaciones básicas son OR (+) y AND (•).

Luego se definen las expresiones de conmutación como un número finito de variables y constantes, relacionadas mediante los operadores (AND y OR).

En la ausencia de paréntesis, se utilizan las mismas reglas de precedencia, que tienen los operadores suma (OR) y multiplicación (AND) en el ´algebra normal.

LEYES

En el álgebra de Boole se cumplen las siguientes Leyes:

Conmutatividad:

X + Y = Y + X

X • Y = Y • X

Asociatividad:

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z

X • (Y • Z) = (X • Y) • Z

Distributividad:

X + (Y • Z) = (X + Y) • (X + Z)

X • (Y + Z) = (X • Y) + (X • Z)

Elementos Neutros (Identidad):

X + 0 = X

X • 1 = X

Complemento:

X + X = 1

X • X = 0

Dominación:

X + 1 = 1 X • 0 = 0

Demostración:

X + 1 = (X + 1) • 1 = (X + 1) • (X + X)

(X + 1) • (X + X) = X + (1 • X) = 1

Idempotencia:

X + X = X

X • X = X

Doble complemento:

X = X

Absorción:

X + X • Y = X

X • (Y + X) = X

Demostración:

X + X • Y = (X • 1) + (X • Y) = X • (1 + Y) = X

De Morgan:

A • B = A + B

A + B = A • B

Luego se establecen los siguientes Teoremas:

Teorema de la Simplificación

A + A • B = A + B

A • (A + B) = A • B

Demostración:

A • Ā = 0

A • Ā + B = B

(A + B) • (Ā + B) = B

A • (A + B) • (Ā + B) = A • B

A • (Ā + B) = A • B

Teorema del complemento único

Suponemos 2 complementos para A (A1 y A2)

A + A1 = 1 A + A2 = 1

A • A1 = 0 A • A2 = 0

Luego,

A1 = A1 • 1 = A1 • (A + A2) = A1 • A + A1 • A2

A1 = 0 + A2 • A1

A1 = A • A2 + A1 • A2 = (A + A1) • A2

A1 = 1 • A2 = A2

EXPRESIONES DE CONMUTACIÓN

Literal: Es toda ocurrencia de una variable, ya sea complementada o sin complementar, en una expresión de conmutación.

Por ejemplo, en la expresión de conmutación:

Ā • B + C • A + D + • 1

A, B, C y D son Variables.

Ā, B, C, A, D y son Literales.

1 es una Constante.

Expresión Dual: Esta expresión se obtiene, intercambiando las operaciones AND por OR (y vice versa), e intercambiando las constantes 0 por 1 y 1 por 0 en la expresión de conmutación.

Por ejemplo, para la expresión de conmutación:

(A • B) + (C • D) + 0

La Expresión Dual es:

(A + B) • (C + D) • 1

Funciones de conmutación

Las funciones de conmutación se pueden expresar: de Forma Algebraica, mediante una Tabla de Verdad o en Forma Canónica.

La manera más didáctica de representar una función de conmutación es mediante una Tabla de Verdad, ya que en ella se muestran los valores de salida para cada combinación de valor de entrada.

Las Tablas de Verdad permiten modelar los Sistemas Combinacionales.

Tablas de Verdad

Dada la función de conmutación: f (X1, X2, X3) = X1 + (X2 • X3)

La Tabla de Verdad es:

Formas Normales disyuntiva

Dada una tabla de verdad también es posible obtener la forma algebraica.

Existen 2 métodos para identificar la forma algebraica: la forma normal disyuntiva y la forma normal conjuntiva.

En el caso de la forma normal disyuntiva, es necesario identificar los 1’s que resultan de la tabla de verdad y formar los términos (conjunciones fundamentales) que los representan.

Para formar las conjunciones fundamentales, se usa la variable complementada si para esa combinación tiene un cero, o se deja sin complementar, si en la combinación

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