Estadística de Maxwell-Boltzmann en un Gas Idea

Estadística de Maxwell-Boltzmann en un Gas Ideal.

Para poder llegar a esta relación entre la mecánica cuántica y estadística es necesario calcular las propiedades promedio de un conjunto de partículas para ello utilizamos una de las generalidades de la mecánica estadística usando:

Factor de densidad de estados:

[pic 1]

 Donde:

g(d: Número de estados cuánticos del sistema.[pic 2][pic 3]

N(d: Número de partículas del sistema cuya energía está dentro del rango d alrededor de .[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

f(: Función de distribución del sistema y depende de las probabilidades relacionadas con la distribución de las partículas del sistema entre los estados cuánticos disponibles. [pic 8]

Ahora si conocemos g( y f(, determinamos que el valor promedio de cualquier cantidad 𝛼 que se puede expresar como una función de la energía total , se puede evaluar como:[pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

Resolviendo el cociente[pic 13][pic 14]

la integral de N(𝜀)d𝜀 tomada sobre todos los valores posibles de 𝜀 da simplemente N que es el número total de partículas del sistema.

Si la cantidad 𝛼 es una función de las coordenadas del sistema  y las cantidades de movimiento  que no se puede expresar como una función exclusiva de la energía total 𝜀, entonces 𝜀 se puede expresar como una función de las coordenadas y de las cantidades de movimiento, como la suma de las energías cinética y potencial, como: [pic 15][pic 16]

[pic 17]

y el valor promedio de 𝛼 evaluado como una integral sobre las coordenadas del espacio de fase como:

[pic 18]

Donde:
 : representa la función de distribución [pic 19]

𝜀 : esta en función de Pi y qi

 : son los elementos de volumen en el espacio de cantidades de movimiento y en el espacio de coordenadas expresadas en cualquier forma[pic 20]

Puesto que el factor de densidad de estados g(𝜀), como N(𝜀) , depende sólo de la distribución de los estados cuánticos del sistema en cuanto a la energía, debe existir la posibilidad de calcular g{E) a partir de la solución de la ecuación de Schrodinger. Esto se puede hacer en relación con las partículas libres ahora, suponiendo que el sistema está confinado en el interior de un recipiente rígido cuyas dimensiones son  en las direcciones respectivamente. En efecto, este recipiente es un pozo de potencial infinitamente profundo para las partículas que se encuentran en su interior, siendo el potencial igual a cero para cada partícula que se encuentra dentro del recipiente, a condición de que las interacciones de las partículas estén restringidas a colisiones instantáneas. En este caso, dentro del recipiente tenemos que la ecuación independiente del tiempo de Schrodinger [pic 21][pic 22]

[pic 23]

Se puede rescribir de la  siguiente forma:

             (1.4)[pic 24]

Donde:                                                                     (1.5)[pic 25]

Ahora de acuerdo con las generalidades de la mecánica cuántica se dice que   fuera del recipiente, ahora tomando en cuenta la solución de la ecuación de onda [pic 26]

[pic 27]

la solución para la ecuación (1.4) sería una onda plana de la forma:

       (1.6)[pic 28]

Esta solución satisface la ecuación (1.4), ahora las cantidades se deben relacionar en tal forma que [pic 29]

[pic 30]

se puede considerar que estas cantidades se comportan como las componentes de un vector k o mejor conocido como vector de propagación.

Ahora si se estudia en el carácter físico la ecuación (1.6) se relaciona con la función de onda dependiente del tiempo

[pic 31]

Entonces:

[pic 32]

Donde:                 [pic 33]

Ahora sabemos que el valor esperado de la cantidad de movimiento vectorial p está dado por:

[pic 34]

Donde p y k son constantes de movimiento.

Para las condiciones de frontera, se requerirá que la función de onda en cualquiera de las caras del recipiente sea igual a la de la cara opuesta.

En una geometría unidimensional, estas condiciones de frontera representan un sistema que equivale topológicamente a un anillo. En tres dimensiones, las condiciones periódicas de frontera dividen todo el espacio en regiones exactamente similares cuyas dimensiones son  siendo la función de onda la misma en cada una de ellas, y cualquiera de estas regiones se puede usar para representar el interior del pozo de potencial correspondiente al recipiente. Procediendo de esta manera y suponiendo que los bordes del recipiente se extienden a lo largo del eje x desde 0(cero) hasta Xo, a lo largo de la dirección y, de 0(cero) a y0 & en la dirección z, de 0 a z0 , las condiciones de frontera se convierten en:[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Por lo tanto, la ecuación (1.6) requiere:

[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

Entonces la ecuación (1.6) se reduce a:

                                                 (2.2)[pic 42]

Ahora si comparamos con la ecuación (1.1) y (1.5) entonces sólo es permisible un grupo discreto de valores de energía dados por:

        (2.3)[pic 43]

Ahora de acuerdo con la cantidad de movimiento vectorial (1.9) los valores permisibles de  se pueden expresar como los valores permisibles de ) en la forma:[pic 44][pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

Si se graficaran todos los valores permisibles de la cantidad de movimiento, haciéndolos corresponder a todos los valores enteros posibles de () en (2.4), como puntos en un espacio ortogonal de cantidad de movimiento cuyas coordenadas son  se obtendría una red ortogonal simple de los puntos,• que representan los valores permisibles de la cantidad de movimiento, en donde las dimensiones de la célula unitaria  corresponden a los cambios unitarios en () en (2.4). El volumen del espacio de cantidad de movimiento correspondiente a un solo estado cuántico del sistema es, simplemente, el volumen de la celda unitaria[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

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