Estática De Los Fluidos

La estática de los fluidos en una rama de la mecánica de fluidos que se encarga del estudio de los fluidos en reposo o que se mueven como sólidos. Es decir, aquellos fluidos cuyas partículas no tiene movimiento relativo entre si en consecuencia los esfuerzos cortantes son nulos. En los fluidos estáticos las únicas fuerzas que actúan en un punto, son los debidos a los esfuerzos normales, las de presión y las de cuerpo (o peso). En éste capítulo se estudian los métodos que se utilizan para determinar la distribución de presión sobre una superficie y las fuerzas que generen dichas distribuciones de presión, así como, la condiciones de estabilidad de los cuerpos que flotan.

3.1. Presión en un punto

La Figura 3.1 muestra el diagrama de cuerpo libre de una cuña de un fluido que está en reposo o que se mueve como un sólido, donde se debe destacar que los esfuerzos cortantes son nulos por que el fluido no tiene movimiento relativo entre sus partículas.

[pic]

[pic] son las presiones en las direcciones x, y y z respectivamente; y [pic].es el peso específico del fluido.

Cuando se aplica la segunda ley de Newton ([pic]) a la cuña, se tiene

[pic] (3.1)

Como

[pic]

La ecuación (3.1) se reduce a

[pic] (3.2)

Igualando las componentes vectoriales de (3.2) y simplificando se obtiene que

[pic] (3.3)

Como se quiere determinar la presión en un punto, se debe aplicar el límite cuando [pic] y [pic], esto es

[pic] (3.4)

Finalmente resulta que

[pic] (3.5)

El resultado de la ecuación (3.5) demuestra que la presión no depende de la dirección, por tanto la presión es cuna cantidad escalar.

Comentario adicional: Cuando un fluido está en movimiento los esfuerzos cortantes no son nulos, en consecuencia la presión no necesariamente será independiente de la dirección. En tales casos, la presión promedio se calcula mediante la siguiente relación.

[pic] (3.6)

Donde [pic] son los esfuerzos normales que actúan en el punto donde se quiere determinar la presión.

Finalmente se puede comentar que en muy pocas circunstancias, la presión depende de las direcciones.

3.2. distribución de presión en un fluido estático

Como se demostró en la sección anterior, la presión es una cantidad escala por lo que ella sólo varía con la posición y no con la dirección. Por otra parte, el fluido se puede considerar un medio continuo, por lo que la variación de la presión en cualquier dirección se puede expresar mediante la serie de Taylor:

[pic] (3.7)

Cuando [pic] los términos de orden superior se puedes despreciar, entonces, la variación de la presión a una distancia [pic] en la dirección cualquiera [pic] se puede expresar por

[pic] (3.8)

Utilizando la relación de la ecuación (3.8), se muestra en la Figura 3.2 el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas actuantes en un elemento cúbico diferencial de volumen [pic].

[pic]

Aplicando la segunda ley de Newton, y considerando que el vector gravedad está en sentido contrario el eje y ([pic]), se tiene:

[pic] (3.9)

Simplificando

[pic] (3.10)

En forma vectorial la ecuación (3.10) se expresa de la siguiente forma

[pic] (3.11)

También, la ecuación vectorial (3.10) se puede expresar mediante tres ecuaciones escalares

[pic] (3.12)

Las ecuaciones (3.10), (3.11) y (3.12) son tres formas de expresar la ecuación general de la estática de los fluidos.

Para el caso de un fluido en reposo ([pic]) se tiene que:

[pic] (3.13)

De la ecuación (3.13) se nota que la presión no varía en la dirección x ni z, sólo varía en la dirección y. Como la presión varía solamente en la dirección y, se puede reemplazar la derivada parcial por ordinaria. Esto es

[pic] (3.14)

La ecuación (3.14) muestra que para un fluido en reposo (o con velocidad constante) la presión disminuye en la dirección de y (que es lo mismo, aumenta en la dirección de la gravedad). La ecuación (3.14) se conoce como la ecuación general de la estática de los fluidos para el caso de un fluido en esposo.

3.2.1. Distribución de presión en un fluido estático incompresible

Considere un fluido incompresible (densidad constante) en reposo, tal como el mostrado en la Figura 3.3, donde en la superficie (y = y+h) tiene una presión po, y se quiere determina la presión en un punto y = y.

Como la densidad es constante, se puede decir que el peso específico también lo será[1]. En tal sentido, al integrar la ecuación (3.14) se tiene:

[pic] (3.15)

Luego, como en [pic] se tiene que [pic], resulta que:

[pic] (3.16)

Al sustituir (3.16) en (3.15) se tiene que

[pic] (3.17)

Normalmente la presión en la superficie del fluido es la atmosférica por lo que [pic] (presión manométrica). Entonces resulta que:

[pic] (3.18)

La ecuación (3.18) se conoce como la ecuación general de la estática de los fluidos para el caso de un fluido incompresible en reposo. Ésta ecuación demuestra que la presión dentro de un fluido incompresible aumenta con la profundidad.

3.2.2. Distribución de presión en un gas ideal en reposo

Considere un gas ideal isotérmico en reposo, tal es el caso de aire cercano a la superficie de la tierra. Para un gas ideal se cumple que:

[pic] (3.19)

Al sustituir (3.19) en (3.14) e integrando se tiene

[pic]

O que es lo mismo

[pic] (3.20)

Donde C es la constante de integración.

Se considera que cuando [pic] se tiene que [pic], por lo que la constante de integración será:

[pic] (3.21)

Al sustituir (3.21) en (3.20) resulta que:

[pic] (3.22)

Finalmente se puede comentar que para un gas ideal isotérmico la presión disminuye con la altura en forma exponencial.

Para analizar que tan significativo es la variación de la presión en el aire cercano a la superficie terrestre, consideremos que para yo = 0 la presión es 101325 Pa, y que cercano a la

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