FRENET-SERRET

Introducción

En geometría diferencial, las fórmulas de Frenet-Serret describen las propiedades cinemáticas de una partícula que se mueve a lo largo de una curva continua y diferenciable en el espacio euclidiano tridimensional ℝ3, o las propiedades geométricas de la curva en sí, independientemente de cualquier movimiento. Más específicamente, las fórmulas describen las derivadas de los llamados vectores unitarios tangenciales, normales y binormales en términos de cada uno. Las fórmulas llevan el nombre de los dos matemáticos franceses que las descubrieron independientemente: Jean FrédéricFrenet, en su tesis de 1847, y Joseph Alfred Serret en 1851. La notación vectorial y el álgebra lineal que se usan actualmente para escribir estas fórmulas todavía no se usaban en el momento de su descubrimiento.

Deducción de las fórmulas

Sea r (t) una curva en el espacio euclidiano, que representa el vector de posición de la partícula en función del tiempo. Las fórmulas de Frenet - Serret se aplican a curvas que no son degeneradas, lo que significa aproximadamente que tienen una curvatura distinta de cero. Más formalmente, en esta situación, se requiere que el vector de velocidad r '(t) y el vector de aceleración r' '(t) no sean proporcionales.

Supongamos que s (t) representa la longitud del arco que la partícula ha movido a lo largo de la curva en el tiempo t. La cantidad s se usa para dar a la curva trazada por la trayectoria de la partícula una parametrización natural por la longitud del arco, ya que muchas trayectorias de partículas diferentes pueden trazar la misma curva geométrica al atravesarla a diferentes velocidades. En detalle, s está dado por

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Además, dado que hemos supuesto que r '≠ 0, se deduce que s (t) es una función que aumenta de forma estrictamente monótona. Por lo tanto, es posible resolver para t como una función de s, y así escribir r (s) = r (t (s)). La curva se parametriza así de una manera preferida por su longitud de arco. Con una curva r (s) no degenerada, parametrizada por su longitud de arco, ahora es posible definir el marco de Frenet-Serret o marco TNB:

•  El vector de unidad tangente T se define como:

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• El vector de unidad normal N se define como:

[pic 3]

• El vector de unidad binormal B se define como el producto cruzado de T y N:[pic 4]

De la ecuación (2) se desprende, ya que T siempre tiene magnitud unitaria, que N es siempre perpendicular a T. De la ecuación (3) se sigue que B es siempre perpendicular a T y N. Por lo tanto, los tres vectores unitarios T, N y B son todos perpendiculares entre sí.

Las fórmulas de Frenet-Serret son:

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dónde κ es la curvatura y τ es la torsión

Las fórmulas de Frenet-Serret también se conocen como el teorema de Frenet-Serret, y se pueden expresar de forma más concisa usando la notación de matriz:

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Mañana te explicare lo que dirás…

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