FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS.

Definición de las funciones.

Un círculo unitario con centro en el origen sigue la fórmula ; un punto dado por el par ordenado se puede representar como función de un ángulo t de la siguiente manera . De igual manera, una hipérbola unitaria con centro en el origen sigue la fórmula ; un punto dado por el par ordenado se puede representar como función del ángulo t de la siguiente manera . Estas funciones se denominan funciones trigonométricas hiperbólicas, en particular, coseno hiperbólico y seno hiperbólico.

Las funciones trigonométricas hiperbólicas presentan propiedades análogas a las de las funciones trigonométricas o circulares. La función se define como , mientras que la función es .

Al igual que las funciones trigonométricas circulares, en las funciones trigonométricas hiperbólicas se cumplen las siguientes identidades fundamentales.

Debido a esto, es lógico pensar que habrá una relación equivalente al Teorema de Pitágoras. Así, para las funciones hiperbólicas se sabe que .

Ejemplo 1.

Demostrar que .

Gráfica de las funciones.

Sea la función . Las intersecciones se pueden encontrar igualando la función a cero.

La función seno hiperbólico tiene una sola raíz en x=0. Para obtener los puntos críticos, se iguala a cero la derivada de la función:

por lo tanto, no hay puntos críticos. Es interesante notar que la derivada de la función senh(x) es la función cosh(x).

Por último, puntos inflexión se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero.

La segunda derivada nos llevó, nuevamente, a la función senh(x). Esta función ya se igualó a cero para encontrar las intersecciones. El resultado es que en x=0 hay una raíz que, a su vez, es un punto de inflexión.

La misma función se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales: . La gráfica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial positiva) y verde (exponencial negativa). La resta de ambas punto por punto es la función senh(x).

Derivadas.

Ejemplo 2.

Derivar la función .

La función más externa es la raíz, por lo tanto, es la primera en derivarse.

Ejemplo 3.

Derivar la función .

La función más externa es el logaritmo, por lo tanto, es el primero en derivarse.

Integrales.

Utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo se puede establecer que

Utilizando estas fórmulas se pueden establecer las siguientes.

Ejemplo 4.

Hallar la fórmula para la integral de la tangente hiperbólica.

Se hace un cambio de variable en donde . Al sustituir, la integral anterior cambia a

Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes fórmulas.

Ejemplo 5.

Resolver las siguientes integrales.

Se realiza el cambio de variable , por lo tanto, la integral se puede escribir como

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