Factorización LU
Enviado por rleon7 • 15 de Mayo de 2021 • Trabajo • 564 Palabras (3 Páginas) • 231 Visitas
SOLUCIONES DE ECUACIONES
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN LU
RUBÉN ANDRÉS LEÓN CONTRERAS
DOCENTE:
JOSE LUIS CONSUEGRA GONZALEZ
FUNDACION UNIVERSITARIA DEL AREA ANDINA
INGENIERIA CIVIL
VALLEDUPAR-CESAR
2021
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN LU
La factorización LU, descomposición LU, o también factorización matricial. Es capaz de convertir una matriz “A” en el producto de dos matrices triangulares, además resulta ser muy útil cuando se quiere dar solución al mismo tiempo a varios sistemas de ecuaciones que discrepan en la parte no homogénea.
Entonces una matriz cuadrada A ∈ (R) posee una descomposición LU cuando hay matrices L, U ∈ (R) triangular inferior (lower) y triangular superior (upper) respectivamente (de ahí sus siglas LU), de tal forma que . Dicha descomposición permite dar solución de forma rápida a sistemas de ecuaciones determinados por por medio de los dos algoritmos de bajada y de subida.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
[pic 5]
La descomposición LU se define de la siguiente manera:
- Si se tiene un sistema de ecuaciones con n ecuaciones y n incógnitas.
[pic 6]
Escribiéndolo de forma matricial quedaría:
[pic 7]
Entonces el sistema se puede resolver usando , y se escribiría de la forma .[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]
[pic 12]
En donde es posible agregar una nueva variable [pic 13]
[pic 14]
Pudiéndose resolver por medio del método de sustitución hacia atrás, debido a que la matriz U es triangular superior.
Como ya se conoce las componentes del vector c, se puede obtener un nuevo sistema .[pic 15]
[pic 16]
Y se puede resolver dicho sistema por el método de sustitución hacia adelante, ya que la matriz L es triangular inferior.
EJEMPLO MATEMATICO.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
Escribiéndolo en su forma matricial quedaría:
[pic 20]
Se descompone la matriz A en el producto LU.
[pic 21]
Se agrupa el producto UX.
A=Lc=B
[pic 22]
Ahora se procede a usar el método de sustitución hacia adelante para resolver C:
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
Sabiendo las componentes de C, se resuelve Ux=C con el método de sustitución hacia atrás para determinar X.
[pic 26]
Su solución sería:
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
EJEMPLO DE APLICACIÓN.
...