Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática Análisis II

Universidad Central del Ecuador

Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática

Análisis II [pic 1]

Estudiante: Bryan Núñez

Carrera: Ingeniería Informática 

SUMATORIA

• Representación:

[pic 2]

[pic 3]

• Definiciones:

[pic 4]

[pic 5]

• Observaciones

[pic 6]

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[pic 8]

[pic 9]

• Propiedades[pic 10][pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

• Resultados

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

Área bajo una curva

[pic 22]

[pic 23]

F[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 24]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

  [pic 32][pic 33][pic 34]

• Partición:

Definición. - Una partición del intervalo  que notamos  está dada por  tal que [pic 35][pic 36][pic 37]

        .[pic 38]

Esta partición subdivide al intervalo  en  subintervalos de la forma  ,con  , de longitud [pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

. La longitud del intervalo más grande se denota por y se llama norma de . De modo que:[pic 43][pic 44][pic 45]

[pic 46]

      Además, tomamos  que pertenece al intervalo  con  y la altura vendría a ser .[pic 52][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

[pic 53][pic 54]

[pic 55]

Siendo:

 , [pic 56][pic 57]

Por tanto     con   .[pic 58][pic 59]

Los  rectángulos forman una aproximación poligonal a la región F. Por ende, el área de F se aproxima mediante la suma de las áreas de estos rectángulos, la cual está dada por: [pic 60]

[pic 61]

Observación:[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]

La aproximación al área de S parece ser cada vez mejor a medida que  es más pequeño, esto es, cuando  o a su vez cuando .[pic 66][pic 67][pic 68]

• Definición de área bajo una curva:

[pic 69]

El área A de la región F se define como el valor   límite (si existe) de las áreas de los polígonos de aproximación

[pic 70]

• Partición regular:

     La partición  es regular si todos los   son iguales con  , es decir:[pic 71][pic 72][pic 73]

[pic 74]

Aproximación del Área bajo una curva

• Basado en el extremo izquierdo:[pic 75][pic 76][pic 77][pic 78]

   [pic 79][pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

• Basada en el extremo derecho[pic 84]

   , [pic 85][pic 86]

[pic 87][pic 88][pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

[pic 92]

• Basado en el punto medio  

[pic 93][pic 94][pic 95][pic 96]

  , [pic 97][pic 98][pic 99]

[pic 100]

[pic 101]

[pic 102]

Integral definida

• Definición:

Sea  una función definida en , la integral definida de  en  que notamos  se define como el límite de la sumatoria de Riemann.[pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107]

[pic 108]

• Observaciones:

• [pic 109]

acion [pic 110]

[pic 111]

• Si [pic 112]

• Si [pic 113]

• Si [pic 114]

• [pic 115]

• Propiedades:

1.            ,      [pic 116][pic 117]

1. [pic 118]

1.                                 ,     [pic 119][pic 120]

1. [pic 121]

1.      [pic 122]

• [pic 123]

• Propiedades de orden:

1. Si  para ,  entonces .[pic 124][pic 125][pic 126]

1. Si  para , entonces .[pic 127][pic 128][pic 129]

1. Si  para ,  entonces[pic 130][pic 131]

[pic 132]

1. [pic 133]

• Resultados

1. [pic 134]
2. [pic 135]

1. [pic 136]

Primitiva o antiderivada

• Definición:

 es una primitiva o Antiderivada de  si .Teorema[pic 137][pic 138][pic 139]

Si F y G son dos primitivas de f estas se diferencian en una constante osea que:

[pic 140]

[pic 141]

Teorema Fundamental del Cálculo

(1ra parte)

• Definición:

Si  es continua en , entonces la función  definida por:[pic 142][pic 143][pic 144]

, entonces .[pic 145][pic 146]

• Observaciones:

• Si  , entonces [pic 147][pic 148]

• Si , entonces [pic 149][pic 150]

Teorema Fundamental del Cálculo

(2da parte)

• Definición:

             Si  es continua en , entonces[pic 153][pic 154][pic 151][pic 152]

[pic 155]

                                        Para la integral:              Propia            Impropia

 En donde  es cualquier antiderivada de , es decir .[pic 156][pic 157][pic 158]

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