Funciones Hiperbolicas

FUNCIONES HIPERBOLICAS

Definiciones e Identidades

Las combinaciones

Cosh u = ½ ( e ^u + e ^−u) ( coseno hiperbólico de u)

Senh u = ½ ( e ^u − e ^−u) ( seno hiperbólico de u)

se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De

momento puede que no este clara la ecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios mas

adelante.

Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las

funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto ( x, y) en el circulo unitario

x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto (

x, y) sobre la hipérbola unitaria x² − y² =1.

A propósito suele pronunciarse cosh u como cosh u y senh u como senh u.

Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria,

sustituimos las relaciones que las definen en la ecuación de la hipérbola:

x² − y² =1

cosh² u − senh² u = 1

¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ −2u) − ¼ (e ^ 2u − 2 + e ^ −2u) = 1

¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ −2u − e ^ −2u + 2 − e ^ −2u) = 1

¼ ( 4) = 1

En realidad, si hacemos

x = cosh u = ½ ( e ^ u + e ^ −u).

y = senh u = ½ ( e ^ u − e ^ −u).

entonces, cuando u varia de − oo a + oo, el punto P ( x, y) describe la rama derecha de la hipérbola x² − y² = 1.

El primer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica

cosh² u − senh ² u = 1.

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