Funciones Matemáticas

1.1.1 Introducción

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En la vida diaria nos encontramos (a veces sin darnos cuenta) con la noción de correspondencia. Por ejemplo, a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le corresponde un número de páginas, a cada objeto le corresponde un peso, a cada rectángulo le corresponde un área, a cada número no negativo le corresponde su raíz cuadrada, etc.

En cada uno de los ejemplos anteriores hay dos conjuntos D y C entre los que se dá la correspondencia.

En el primer ejemplo el conjunto D es el conjunto de personas y el conjunto C es el conjunto de fechas (día, mes y año).

En el segundo ejemplo el conjunto D es el conjunto de libros y el conjunto C es un número entero (el número de páginas).

¿Cuáles serían los conjuntos D y C para los otros tres ejemplos?

Estas correspondencias se ilustran a menudo mediante diagramas como el que sigue:

1.1.2 Definición de función

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Toda regla de correspondencia como los ejemplos anteriores es llamada relación.

Ciertos tipos especiales de reglas de correspondencia se llaman funciones.

La definición de función se dá enseguida.

Función:

Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio.

Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imágen.

Una función se puede concebir también como un aparato de cálculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contradominio.

Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.

Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos x o s, o cualquier otra.

Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo f(x) ó f(s).

Ejemplo: f(x) = x2+ 3x - 6

Esta función es una regla de correspondencia que dice lo siguiente: "A cada número en el dominio de f se le relaciona con el cuadrado de ese número mas el triple de ese número menos seis".

Otra manera de ver esto es escribiendo la función de la siguiente manera:

f ( ) = ( )2 + 3( ) - 6

Enseguida se muestran los valores de f para varios valores de ( ). Es decir, se muestra la "salida" de la "máquina" para varios valores de la "entrada".

f(x) = x2 + 3x - 6

f(10) = 124

f(-2) = -8

f(h + 1) = (h + 1)2 + 3(h + 1) - 6

f(x + b) = (x + b)2 + 3(x + b) - 6

f( ) = ( )2 + 3( ) - 6

El dominio de una función puede ser especificado al momento de definir la función.

Por ejemplo, F(x) = 2x en el intervalo [-3,10] es una función cuyo dominio es el intervalo [-3,10]. A menudo no se especifica el dominio de una función definida por una ecuación, por ejemplo,

G(x) = 3x3 - 2x + 10

(Sin especificar el dominio)

En adelante quedará entendido que:

A menos que se especifique explícitamente, el dominio de una función será el conjunto más grande de números reales para los cuales la función nos dé como salida un número real.

Por ejemplo:

1

f(x) = ________________________________________

x - 3

Para esta función x = 3 no forma parte del dominio, ya que al ingresar dicho valor en la función obtendríamos un diagnóstico de error pues no se puede dividir entre cero. Observa además que la función no puede tomar el valor cero. ¿Porqué? Observa la gráfica.

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1.1.3 Ejemplos de funciones y sus gráficas

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La gráfica de una función

La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x,y) en donde x está en el dominio de la función y además y=f(x).

A continuación discutiremos algunos tipos importantes de funciones y observaremos sus gráficas. Pon atención a la forma que tienen las gráficas de estas funciones. Todos los ejemplos son de funciones algebráicas, discutiremos otros tipos de funciones, como las funciones trigonométricas, más adelante. Por lo pronto, observa las siguientes funciones y sus gráficas.

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Función constante: f(x)=k, donde k es alguna constante

¿Qué tienen en común todas las gráficas? ¿En qué difieren?

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Función lineal: f(x) = ax + b

¿Qué tienen en común todas las gráficas? ¿En qué difieren?

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Función cuadrática:

f(x)= ax2 + bx + c = a(x - x0)2 + y0

El punto rojo se llama vértice de la parábola.

¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma

f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= x2 + 2 x + 1 = (x + 1)2

El punto rojo se llama vértice de la parábola.

¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma

f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= 2 x2 + x = (x + 1)2 - 1

El punto rojo se llama vértice de la parábola.

¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma

f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x)= 2 x - x2 = 1 - (x - 1)2

El punto rojo se llama vértice de la parábola.

¿Cuáles son sus coordenadas?

¿Cómo se relacionan las coordenadas del vértice con los números en la forma

f(x)= a(x-x0)2 + y0?

¿Qué significancia tienen los números a, x0, y0 para la gráfica de la función

f(x)= a(x-x0)2 + y0?

f(x) = 10 + 2 x - 2 x2

21 1

= ________________________________________ -

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