Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

.1.2. Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

• Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.

• Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.

• Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre especifico.

'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación

.

• la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación siempre tiene al menos una solución.

• la función es inyectiva si, y 'solo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.

• la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.

En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final) no tenga una preimagen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

todos los elementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva

el elemento d de Y, no tiene ningún origen por lo que esta aplicación no es sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Partiendo del conjunto de pinceles con pintura de colores:

,

,

Sobre el conjunto de caras pintadas:

,

,

,

Asociando cada pincel con la cara correspondiente:

Dado que cada pincel tiene una cara y solo una cara de su color esta correspondencia es una aplicación, como las caras que tiene pincel de su color, tienen un solo pincel de su color, la aplicación es inyectiva, y como la cara pintada de amarillo, no tiene ningún pincel de este color, la aplicación no es sobreyectiva.

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.

Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:

el elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva.

todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.

Segundo ejemplo

Igual que en el ejemplo anterior partiremos del conjunto de pinceles con pintura de colores:

,

,

,

En este caso hay dos pinceles con pintura azul, pero a pasar de tener el mismo color de pintura son dos pinceles distintos.

Como conjunto final tenemos el conjunto de caras pintadas:

,

,

Asociando cada pincel con la cara del mismo color, vemos que cada pincel tiene una cara pintada de su color y solo una, esto hace que la correspondencia sea una aplicación, la cara azul tiene dos pinceles de su mismo color, por lo que no es inyectiva, todas las caras tiene un pincel con su color, luego la aplicación es sobreyectiva.

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente,

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