Fundamentación de la matemática, el problema de la consistencia y el papel de los modelos en las pruebas de consistencia

Consistencia y modelos

Foco

Fundamentación de la matemática, el problema de la consistencia y el papel de los modelos en las pruebas de consistencia.

Preguntas

¿Cuándo un sistema axiomático es consistente?

¿La geometría euclideana es consistente?

¿Se puede formalizar toda la matemática?

¿Cómo surgen las antinomias y paradojas?

¿Es consistente la aritmética?

Filosofía

Logicismo.

Neointuicionismo.

Formalismo.

Realismo Matemático.

Estructuralismo

Convencionalismo

Empirismo lógico

Teorías

Geometría Analítica de Descartes y Fermat.

Lógica elemental de predicados y lógica superior de predicados.

Teoría clásica de conjuntos de Cantor.

Axiomática de Peano.

Lógica de Russell y Frege.

Prueba de consistencia relativa.

Teorías de los tipos.

Los metateoremas de Gödel.

Principios

Si un sistema tiene al menos un modelo es consistente.

Si un sistema admite un modelo, entonces admite infinitos modelos.

Principio de no contradicción

Conceptos

Sistemas axiomáticos.

Consistencia.

Modelos relativos y modelos absolutos.

Números.

Conjuntos, inclusión, intersección, unión.

Relación de equivalencia.

Antinomia.

Afirmaciones de valor

El problema sobre la consistencia de la geometría no euclideana quedó reducido a probar si la  aritmética de los números naturales es consistente.

Russell creyó encontrar un modelo de la axiomática de Peano en la teoría de conjuntos de Cantor.

Para poder fundamentar la matemática se debe distinguir entre el discurso matemático y el metamatemático.

Afirmaciones de conocimiento

Un sistema axiomático es consistente cuando no es posible derivar una contradicción a partir de sus axiomas. Decimos por el contrario que un sistema es inconsistente si es posible probar en este sistema como teorema una fórmula cualquiera y su negación. Cómo a partir de premisas inconsistentes se puede deducir cualquier conclusión, un sistema inconsistente carece de utilidad para la ciencia puesto que en todas sus interpretaciones, habrá enunciados falsos.

Mediante la reducción de la matemática a la lógica surgieron las antinomias y paradojas.

Cualquier sistema axiomático que contenga la aritmética es incompleto.

1) Ningún sistema axiomático que contenga a la aritmética puede demostrar su propia consistencia.

Transformaciones

Se trata de una cadena de reducciones, entre modelos relativos:

El modelo de Klein reduce la prueba de la  consistencia de las geometrías no euclidianas a la consistencia de las euclideanas.

La teoría de conjuntos de Cantor se convirtió en un lenguaje básico para formular las ideas matemáticas.

Mediante la aritmetización de la matemática (Descartes - Fermat), el problema de la consistencia de la geometría euclideana se reduce al determinar la consistencia de los sistemas axiomáticos utilizados para tratar con los números reales, racionales, enteros y por último a la consistencia de los números naturales.

En una teoría formal que sea consistente y completa debe fallar alguna de las hipótesis: o bien no es recursiva y no hay un algoritmo para distinguir los axiomas del resto de fórmulas.

El modelo de Russell interpreta los sistemas axiomáticos formales de los números naturales haciendo uso de entidades de la disciplina lógica, reduciendo la matemática a la lógica.

Se advierte que la teoría de Conjuntos de Cantor conduce a contradicciones, las llamadas antinomias lógicas.

Finalmente Gödel plantea dos metateoremas que determinan que los sistemas axiomáticos que contengan a la aritmética no pueden demostrar su consistencia.

Registros

Las desventuras del conocimiento matemático. Klimovsky, G. Biodo.