Fundamentos y Evaluación de las condiciones iniciales y los elementos de los circuitos RL y RC.

3.1. Fundamentos y Evaluación de las condiciones iniciales y los elementos de los circuitos RL y RC.

Primero recodaremos lo que es un condensador, ya que un condensador se le conoce como el conjunto formado por 2 conductores o armaduras separadas por un aislante o dieléctrico. Estos pueden ser uno de los símbolos de los condensadores

[pic 1]

Circuito RC

Un circuito RC, es compuesto de resistencias y condensadores alimentados por una fuente eléctrica. Un circuito RC de primer orden está compuesto de un resistor y un condensador y es la forma más simple de un circuito RC. Los circuitos RC pueden usarse para filtrar una señal, al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasar otras.

 Los filtros RC más comunes son el filtro paso alto, filtro paso bajo, filtro paso banda, y el filtro elimina banda. Entre las características de los circuitos RC está la propiedad de ser sistemas lineales e invariantes en el tiempo; reciben el nombre de filtros debido a que son capaces de filtrar señales eléctricas de acuerdo a su frecuencia.

Filtro paso bajo: la salida de la señal se pone en los bornes del condensador, estando conectado en serie.

[pic 2]

Filtro paso Alto: la tensión de salida es la caída de la tensión en la resistencia.[pic 3]

[pic 4]

Filtro paso banda (w0): Es la frecuencia central del paso de banda y a la cual se tiene la máxima amplitud. wL y  wH  son las frecuencias de corte inferior y superior, respectivamente, donde la amplitud es 0.7 veces el valor máximo. [pic 5]

Filtro paso elimina banda:

La amplitud de ganancia ideal y real de un filtro de rechazo de banda .Se definen de manera análoga al caso anterior las frecuencias de corte wL y wH. w0 es la frecuencia central del rechazo de banda y corresponde a la mínima amplitud. [pic 6]

El ancho del paso (o rechazo) de banda se llama ancho de banda y está dado por: 

BW= wH  - wL

Condiciones iniciales[pic 7]

Continuando con lo de las condiciones iniciales, una de las funciones para que se nos facilite el uso de la ecuación diferencial para un circuito RC son las siguientes funciones.

• Que cuando  y  (nuestro condensador estará totalmente descargado); Esto quiere decir que nuestro condensador se comportara como un alambre.[pic 8][pic 9]
• Cuando  la corriente tiende a cero, y por ello nuestro condensador se comporta como un circuito abierto. [pic 10]

Dada las siguientes funciones podemos calcular nuestra ecuación diferencial de nuestro circuito RC.

Para el cálculo de la corriente necesitamos las siguientes ecuaciones, cuando el condensador no esté cargado, esto se debe a que:

                                        VR+VC=E                    (Ecua. 1)

Vab es el voltaje que se encuentra de un punto a otro por lo tanto es:

[pic 11]

 pues como el condensador todavía no está cargado sabemos que la corriente es:

[pic 12]

 para el cálculo de la corriente en un circuito RC se sabe que la , teniendo en cuenta esto nos queda la siguiente ecuación diferencial homogénea.[pic 13]

                                                                                  (Ecua. 2)[pic 14]

Asimismo, nos queda una tercera ecuación ya que VR se sustituye en la ecuación 1:

[pic 15]

Ahora consideremos el voltaje en el resistor, de la ecuación 1, VR = E-VC

Sustituyendo a VC de la ecuación 3, en la de VR tenemos:

[pic 16]

No olvidándonos de la corriente del condensador:

[pic 17]

Una de las razones es de que  que es la constante de tiempo es igual a: [pic 18]

[pic 19]

Por lo que cambia en las ecuaciones de VC,  y VR [pic 20]

                                                         [pic 21][pic 22][pic 23]

“ECUACIONES DEL CONDENSADOR DESCARGANDO”

En este el capacitor esta inicialmente cargado, es posible suponer que en el momento t=0 la tensión inicial es V (0) =Vo       

La energía almacenada es:   [pic 24]

Aplicando LKC        Ecua. 1  [pic 25]

Ya que por definición:

                                                                       [pic 26][pic 27]

Sabiendo las equivalencias de cada una de las corrientes las sustituimos en la ecuación 1:[pic 28]

                  [pic 29][pic 30]

Teniendo la ecuación diferencial de primer orden, se reordena quedando de la siguiente manera: [pic 31]

Esto no puede quedar asi por lo que se integra:

[pic 32]

[pic 33]

Donde el voltaje  es el voltaje en el capacitor en el instante que el interruptor es movido a descarga. Esto debido que: [pic 35][pic 36][pic 34]

                                                                 [pic 37][pic 38][pic 39]

Dividiendo ambos lados por R

[pic 40]

Teniendo el conocimiento de las diferentes funciones la respuesta que nos genera el circuito RC es una caída exponencial de la tensión inicial. (llamada respuesta natural).

Resolución de un circuito RC de CD.

En el siguiente circuito el interruptor se cierra en el instante t=0 y el capacitor no tiene carga inicial.

[pic 41]
Calcular los siguientes valores:

La constante de tiempo RC

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