Geometría Analítica Evidencia Del Aprendizaje Unidad 3

Resumen de la parábola

En tu cuaderno, realiza un diagrama para cada una de las parábolas, tomando como referencia el que utilizamos en el ejemplo para deducir la ecuación canónica de la parábola vertical.

Observa que todo está representado de manera general.

Con base en tus diagramas, completa la siguiente tabla.

Parábola

Abre hacia

Distancia focal

Vértice

Foco Directríz l

Eje

Vertical Arriba

Vertical Abajo F(h, k-p)

y = k + p

Horizontal Derecha F( h + p ,k) , x =h - p y = k

Horizontal Izquierda F( h – p ,k) x =h + p

Ahora, completa esta segunda tabla, para el caso particular de las parábolas cuyo vértice se encuentra en el origen.

Parábola con vértice en el origen

Abre hacia

Distancia focal

Vértice

Foco Directriz

Eje

Vertical Arriba F(0,p)

y=-p

Vertical Abajo F(0, -p ) y = p

Horizontal Derecha F( p ,0) x =-p y=0

Horizontal Izquierda F( -p ,0) x =p

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Si lo deseas, puedes incluir en las tablas anteriores las coordenadas de los extremos del lado recto de cada una de las parábolas.

De esta forma acabas de construir un formulario completo con toda la información que necesitas para poder resolver problemas de la parábola. Y al haberlas deducido por ti mismo, no será necesario memorizarlas, sino que cada que se presente una situación novedosa, serás capaz de encontrar la información faltante, a partir de lo que sí conoces.

Problema de la parábola

Resuelve lo que se te solicita a continuación.

Una parábola tiene ecuación

Si su vértice es

Determina la ecuación de la parábola en su forma general y canónica.

Solución.

Como la variable que está al cuadrado es “y”, la directriz de la parábola es horizontal. Entonces pasamos todos los términos en “y” de un lado de la ecuación y los demás del otro.

y^(2 )+ Ey= -9x-F

Si sabemos que y es de la forma y^2+Dx+Ey+F=0, entonces podemos decir que:

Como:

D=-4p=9 p=-9/4 y V(-3/4,1/2 ), Donde h=-3/4 y k=1/2

Sustituyendo en la ecuación

〖(y-k)〗^2=-4p(x-h)

〖(y-1/2)〗^2=-4p[x-(-3/4)]

〖(y-1/2)〗^2=-4p(x+3/4)

〖(y-1/2)〗^2=-9(x+3/4) Ecuación canónica de la parábola

Para obtener la ecuación de la parábola en forma general, desarrollamos el binomio y se efectúan las

reducciones necesarias y se obtiene:

Desarrollando el binomio

(y-1/2)^2=-9(x+3/4)

y^2-y+1/4=-9x-27/4

〖 y〗^2-y+1/4+9x+27/4=0

〖 y〗^2-y+28/4+9x=0

〖 y〗^2-y++9x+7=0 Forma general de la parábola

b) Realiza su gráfica e indica todos los elementos geométricos de la parábola.

Sugerencia: Completa la siguiente tabla.

Ecuación

Descripción

Distancia focal

Vértice

Foco

Directriz

Eje

Extremos del lado recto

y^2-y+9x+7=0 Parábola horizontal que abre a la

Izquierda p=-9/4 V(-3/4,1/2 ) F=h -p , k

f(-3,1/2)

x=h-p

x= 3/2 y= k

y= 1/2

E(-3,5)

D(-3,-4)

c) Encuentra los puntos de intersección con la recta

Aproxima tu resultado a dos decimales.

Ecuación de la recta Recta

y=-3x-5

3x=-y-5

x=(-y-5)/3=-y/3-5/3

Ecuación de la Parábola

〖 y〗^2-y++9x+7=0

Sustituyendo los valores en x

y^2-y+9(-y/3-5/3)+7=0

y^2-y-3y-15+7=0

y^2-4y-8=0

y=(4±√(4^2-4(1)(-8)))/(2(1))

...