Hamilton y el Descubrimiento de los Cuaterniones

Algebra lineal

Unidad 1

Números complejos

Ensayo

Hamilton y el Descubrimiento de los Cuaterniones

        Alberto Cárdenas Flores        

Hora: 10:00 – 11:00

Fecha: 19 de febrero de 2019

anteriormente ya había oído acerca de que las matemáticas, en particular el álgebra lineal, tenían muchas aplicaciones en el área de la computación, pero nunca me había topado con un ejemplo tan directo de esto como lo es el artículo “aplicación de las matrices invertibles en criptografía”, esto a grandes rasgos, nos permite poder codificar  un mensaje haciendo uso de simples matrices, sin necesidad de diseñar un lenguaje o código que sea excesivamente complejo y laborioso, sencillamente es pasar de un mensaje en concreto a una sucesión de números que aparentemente no tienen ningún tipo de relación lógica entre ellos y como se hace esto? Pues el artículo es en cierta manera un tutorial de como encriptar mensajes.

primeramente se toma una matriz cuya única condición que tiene que cumplir es que sea invertible, aunque también se recomienda que sea ortogonal pues son aquellas cuya inversa es igual a la transpuesta y por lo tanto, si la normal solo tenía enteros, la inversa solo tendrá enteros, cosa que simplificaría mucho los cálculos. Eso que tendremos será (A) y se denominará como matriz de codificación, lo siguiente es tener nuestro mensaje a codificar para proceder a acomodarlo en una matriz, será obviamente necesario traducir las letras a números para posteriormente proceder a acomodar estos en los espacios de nuestra matriz mensaje (M). La manera en que decidamos pasar las letras a números da igual, incluso simplemente les podemos asignar el lugar que ocupan en el alfabeto. A la hora de diseñar nuestra matriz mensaje lo único que tendremos que tomar en cuenta es que esta debe tener tantas columnas como filas tenga la matriz codificadora, esto simplemente es para que sea realizable la multiplicación. Finalmente tenemos que el  método de codificación consiste en hacer AXM la matriz resultante será ya el mensaje encriptado el cual se enviará al receptor a manera de sucesión, lo único que tiene que hacer este último para descifrar el mensaje es acomodar la sucesión recibida a manera de matriz y hacer: A^-1(AXM) lo que evidentemente dará como resultado M. el articulo explica que esto es solo una manera sencilla de entender y aplicar los principios básicos de los grandes sistemas de codificación que están presentes en nuestro día a día, por ejemplo cada que ingresamos una contraseña para acceder a cualquier cuenta de cualquier sistema electrónico o red social de la que dispongamos o cuando desbloqueamos un dispositivo móvil, etc. Sin embargo si nos ponemos a analizar realmente tenemos una herramienta bastante, bastante potente a pesar de su simpleza, imaginemos que usamos una matriz codificadora 3x3, ¿Cuántas matrices 3x3 existen? Realmente una infinidad, incluso si nos damos el lujo de usar sólo matrices ortogonales cualquiera que decidamos que será nuestra matriz codificadora, ¿Quién la va a adivinar?, algo que nos tomaría cosa de 5 minutos desarrollar, supondría un sistema de codificación de llave única, si se controlara bien la discreción de los “usuarios legales” de ésta no habría que temer por que se fuera a filtrar la información porque, también hay que decirlo, con saber el significado de un mensaje encriptado ya se podría averiguar mediante un análisis no muy laborioso, la matriz codificador, a pesar de eso está ultima se podría sustituir por otra rápidamente.  Seguramente con ayuda de todas las herramientas digitales de las que se dispone en la actualidad un sistema de codificación matricial podría ser solucionado sin mucho problema, pero imagino que antes de la era de la computación que trajo consigo la automatización de cálculos, resolver ese acertijo sí que hubiera llevado algo de tiempo, imaginemos… tener que buscar patrones que se repitiesen en distintos mensajes e ir probando con distintos números buscando que los resultados arrojaran elementos con algo de coherencia, a mí me hubiera puesto muy nervioso y quién sabe si hubiera podido.

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