Historia de los fractales Representa las primeras 4 etapas de la construcción del copo de nieve de Koch.

Fractales

El fractal es objeto geométrico cuya estructura se repite a diferentes escalas y en diferentes orientaciones. Este término fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en 1975 y proviene del latín fractus que significa “fracturado o roto.”

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Fig. 1: Representa las primeras 4 etapas de la construcción del copo de nieve de Koch.

Si bien, la idea de fractalidad venia de varios años atrás, aproximadamente en el siglo XVII con G. Leibniz el cual erróneamente dice que la línea recta era el “único” objeto geométrico que cumple con la “auto-similitud”, es decir, que si amplificamos una parte de la figura se vuelve a tener la misma figura, este término fue propuesto por Cesàro en 1905. En 1872, Karl Weierstrass encontró una función continua pero no diferenciable (dicho descubrimiento fue de mucho interés, ya que en cuya época se estudiaban las funciones diferenciables). En 1883, Georg Cantor introduce una nueva función  de tal forma que   en casi todo su dominio, cabe señalar que cuya función es singular, monótona y no constante. Si se gráfica la función de Cantor, esta tiene un gran parecido a lo que hoy en día reconocemos como un fractal ya que cumple con la “auto-similitud”, además encontró otro set de lineal que hoy en día se reconocen como fractales. En 1904 se conoce el “copo de nieve de Koch” creada por Helge Koch, la cual tiene propiedades interesantes, como por ejemplo “no es posible trazar una tangente en un punto de su perímetro”, “la longitud entre dos puntos cualesquiera de su perímetro es infinita” y “el área de su interior es finita.” En 1918 Felix Hausdorff introduce un concepto clave “la dimensión fractal” pero no es hasta 1937 aprox. cuando Abraham Besicovitch toma los estudios hechos por Huasdorff y da una definición para poder calcular la dimensión fractal , pero esta definición no se usa por ser muy compleja, la más recomendada a utilizar es la dimensión de Minkowski-Bouligand, la cual se define como [pic 5][pic 6][pic 7]

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Donde  es el número de estructuras auto-similares de lado lineal  que se necesitan para cubrir la figura.[pic 9][pic 10]

Por ejemplo, en el triángulo de , tenemos que  porque cada vez se va repitiendo 3 veces la figura anterior y  que corresponde a cuantas veces necesitamos la figura anterior para cubrir una arista (en este caso) de la figura que le sigue, por lo tanto, se tiene que [pic 11][pic 12][pic 13]

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Fig. 1: Representa las primeras seis etapas de la construcción del triángulo de . [pic 17]

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