INGENIERIA AMBIENTAL

Rotación paralela al eje de abscisas (Eje x)[editar]

El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

V= \pi \int_a^b ([f(x) - K]^2 - [g(x) - K]^2) \,dx

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:

V= \pi \int_a^b f^2(x) \,dx método de discos.

Ambas expresiones se deducen de que al hacer girar un área formada por innumerables rectángulos de base dx y altura f(x), alrededor del eje X, se forman discos colocados verticalmente cuyos volúmenes sumados resultan en el volumen de todo el sólido. Cada disco tiene por volumen el de un cilindro como si fuera una moneda acomodada verticalmente, es decir, V=Πr²h donde el radio de la base del cilindro es f(x), y la altura del cilindro es dx, por lo que el volumen del cilindro resulta ser V=Πf²(x)dx y la suma de todos estos volúmenes parciales, es el volumen total que resulta en la expresión:

V= \pi \int_a^b f^2(x) \,dx

Si son dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del volumen mayor menos el volumen menor

V= \pi \int_a^b ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) \,dx

Pero si el giro es alrededor de una recta paralela al eje X: y=K, entonces la expresión resultante es (siempre que K<X en para todo X):

V= \pi \int_a^b ([f(x) - K]^2 - [g(x) - K]^2) \,dx

en el caso en el que K>X, es decir la recta X=K se encuentre a la derecha de las funciones se debe aplicar:

V= \pi \int_a^b ([K-f(x)]^2 - [K-g(x)]^2) \,dx

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