Inducción Matemática

1.1. Inducción matemática

Ejemplo 1. Consideremos por un momento el polinomio , sustituyendo x=1, 2, 3..., obtenemos los valores:

Observemos que todos los valores obtenidos son números primos ¿Será cierto que para cualquier entero x el valor que se obtiene es un número primo?

Responderemos esta pregunta más adelante.

Ejemplo 2. Considere un triángulo rectángulo isósceles con catetos iguales a 1 sobre la hipotenusa de éste se levanta un segundo triángulo de cateto igual a 1, sobre la hipotenusa de este nuevo triángulo se levanta un tercer triángulo rectángulo y así sucesivamente. Encuentra la longitud de la hipotenusa del triángulo número 1998.

Usando el teorema de Pitágoras vemos que la primera hipotenusa será igual a √2, la tercera será igual a √3, la cuarta será igual a √4. Si este patrón continua, obtendríamos que la hipotenusa del triángulo 1998 es igual a √1999.

Pero, ¿podemos asegurar que este patrón realmente continúa?

El método de inducción matemática.

En muchos problemas necesitamos demostrar que una propiedad que depende de un número entero n se cumple para todos los enteros positivos. La técnica canónica que usaremos para lograr este objetivo se denomina inducción matemática.

En su forma simple, este método consta de dos etapas:

1. Se verifica que la propiedad se cumple o es verdadera para un valor inicial (n=1), (paso básico).

2. Se demuestra que si la propiedad se cumple o es verdadera para algún entero k, entonces será verdadera para el siguiente (k+1), (Paso inductivo).

3. Una vez verificados esos 2 requisitos, podemos verificar que la propiedad se cumple o será verdadera para n=1, 2, 3,..., (conclusión por inducción).

Analicemos ahora el problema del triángulo, queremos comprobar la propiedad de que la hipotenusa del triángulo n es (Hipótesis inductiva).

Notemos que la propiedad depende de uno y sólo un número entero, el valor de n. Esto es un indicador de que el método de inducción matemática podría ser apropiado.

Paso 1. Básico.

La primera etapa pide mostrar que la propiedad se cumple para n=1, es decir, que la hipotenusa del primer triángulo es , lo cual es cierto en virtud del teorema de Pitágoras.

Paso 2. Inductivo (prueba de la hipótesis).

En la segunda etapa, suponemos la propiedad se cumple o es verdadera para algún valor de k (o sea la hipotenusa del triángulo k es ). Queremos probar que la propiedad también se cumple para k+1, (o sea, la hipotenusa del triángulo k+1 es ).

Para calcular la hipotenusa del triángulo k+1 aplicamos el teorema de Pitágoras. Uno de sus catetos es 1, y el otro es la hipotenusa del triangulo anterior, el cual estamos suponiendo que vale .

Entonces:

Así por Pitágoras tenemos:

Así, hemos comprobamos que si la propiedad se cumple o es verdadera para un entero k, entonces se cumple o es verdadera para el entero siguiente k+1.

Paso 3. Conclusión por inducción.

Entonces la inducción matemática nos garantiza que la propiedad siempre se cumple, y ya somos capaces de asegurar que la hipotenusa del triangulo n=1998 es .

¿Por qué funciona el método?

Este proceso puede compararse a una escalera, donde la primera etapa nos da el primer peldaño, y la segunda etapa construye nuevos peldaños a partir de los anteriores. La primera etapa prueba que la propiedad se cumple para n=1, dándonos un punto de partida. La segunda etapa dice que si sabemos que la propiedad se cumple

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