Inferencia Estadistica

Unidad 2 inferencia estadística: estimación

2.1 Conceptos básicos Inferencia estadística .

Inferencia Estadística

Inferir es , en general , establecer un nuevo conocimiento partiendo de uno ya "dado". La inferencia estadística va a ser una forma especial de realizar este proceso. Consiste, básicamente, en determinar algunas características desconocidas de una población partiendo de datos muestrales conocidos. Estas características poblacionales serán "inferidas" utilizando los recursos de la TEORÍA MATEMATICA DE LA PROBABILIDAD.

Fundamentalmente la Inferencia Estadística consiste en la resolución de dos grandes categorías de problemas:

 LA ESTIMACIÓN: Determinar el valor de una característica poblacional desconocida. Podrá ser:

• Por punto: Determinación de un valor poblacional concreto

• Por intervalo: Determinación de un intervalo en el que quede incluido el valor de la característica con cierto grado de probabilidad.

 EL CONTRASTE DE HIPOTESIS: Determinar si es aceptable, partiendo de los datos muestrales , que la característica poblacional estudiada tome un valor determinado o bien que pertenezca a un intervalo de valores determinado. (Es obvio que estos dos problemas de conocimiento pueden, muy bien , considerarse como dos tipos particulares de problemas de decisión estadística y así, de hecho ,lo considera una de las escuelas metodológicas de la Estadística)

Conceptos básicos.

POBLACION: Colectivo sujeto del estudio .Cabe distinguir entre Población (colectivo en el que estamos considerando la magnitud sujeta a estudio) y Universo (colectivo de todos los elementos sujetos del estudio, en el que no consideramos la magnitud). El universo es, por tanto, el conjunto de individuos que poseen la característica o características sujetas a estudio, y éstas en su conjunto forman la población

Así; Analizando las estaturas de los españoles, la población sería el conjunto de todas las estaturas de todos los españoles, siendo el universo el conjunto de todos los españoles.

MUESTRA: Un subconjunto cualquiera de la población. Para que la muestra nos sirva para extraer conclusiones sobre la población deber ser representativa, lo que se consigue seleccionando sus elementos al azar, lo que da lugar a una muestra aleatoria

MUESTREO: Procedimiento para la obtención de una muestra

MUESTREO OPINATICO: es aquel procedimiento de selección de los elementos muestrales que se realiza según el criterio del investigador. Es, por tanto, subjetivo y la muestra obtenida puede no ser representativa de la población.

MUESTREO ALEATORIO: es aquel procedimiento de selección de la muestra en el que todos y cada uno de los elementos de la población tiene una cierta probabilidad de resultar elegidos . De esta forma, si tenemos una población de N elementos y estamos interesados en obtener una muestra de n elementos (muestra de tamaño n), cada subconjunto de n elementos de la población tendrá también una cierta probabilidad de resultar la muestra elegida.

Si designamos por Mi a cada uno de estos subconjuntos, con i= 1,2,3,...N;

Cada Mi tendrá una cierta probabilidad P(Mi) de resultar elegido.

MUESTREO ALEATORIO SIMPLE: (M.A S.): es aquel muestreo aleatorio en el que la probabilidad de que un elemento resulte seleccionado se mantiene constante a lo largo de todo el proceso de obtención de la misma. La técnica del muestreo puede asimilarse a un modelo de extracción de bolas de una urna con devolución (reemplazamiento) de la bola extraída . Un mismo dato puede, en consecuencia, resultar muestreado más de una vez .Cada elección no depender de las anteriores y , por tanto, los datos muéstrales serán estocásticamente independientes.

MUESTREO IRRESTRICTO (SIN REEMPLAZAMIENTO): en este tipo de muestreo la probabilidad de obtener un dato en cada selección viene influida por los resultados anteriores , en la medida en que en este muestreo no permitimos que un mismo dato sea seleccionado más de una vez (lo que hace variar las probabilidades en

cada extracción muestral) . Se corresponde con un modelo de extracción sin reemplazamiento .Teniendo en cuenta la convergencia de la distribución hipergeométrica a la binomial es fácil intuir que cuando la población sea muy grande

(N  ) el muestreo irrestricto puede considerarse como muestreo aleatorio simple.

Por tanto , en el estudio de muestras para poblaciones grandes consideraremos sólo el muestreo simple .En el estudio de muestras de poblaciones finitas es, sin embargo , fundamental analizar las distribuciones muestrales que generará su adecuado muestreo irrestricto)

MUESTRA GENERICA DE TAMAÑO n : Es una variable aleatoria

n-dimensional; X=[x1 ,x2 ,x 3,...,xn ] donde cada xj (con j=1,2,...n)

(cada dato muestran genérico) recorre todos los posibles valores que puede tomar el j-simo elemento de una muestra de n elementos.

Por tanto , una muestra concreta (ya obtenida) será un valor particular (una realización concreta ) de la muestra genérica.

En la medida en que en el muestreo aleatorio cada elemento de la población tiene una probabilidad de ser elegido, cada dato muestral genérico será una variable aleatoria que tendrá asociada una función de probabilidad f(x ) (de cuantía o de densidad) según una determinada distribución que llamaremos distribución básica , madre , o, simplemente, distribución de la población y recorrerá todos los posibles valores de la población.

Si trabajamos con un muestreo aleatorio simple (M.A.S.), cada dato muestral genérico será estocásticamente independiente de los demás y por tanto la función de probabilidad (cuantía o densidad) conjunta de la muestra genérica será :

f(x) = f ( x1 ,x2 ,x3 ,x4 ……. ,x n ) =f(x1 )• f(x2 )• f(x3 )…..f(x n )

por ser las xj variables aleatorias independientes.

ESTADÍSTICO: Es cualquier función de los valores muéstrales que dependa exclusivamente de estos. En la medida en que los valores muestrales son variables aleatorias también lo serán las funciones de éstos: los estadísticos.

A modo de ejemplo podemos decir que son estadísticos la media muestral ,la varianza muestral , la cuasivarianza muestral , dado que son funciones de valores muestrales exclusivamente y no sería estadístico la función que si bien contiene la varianza muestral , también depende de la poblacional y por tanto no es función exclusiva de la muestra.

Como hemos visto, los estadísticos son variables aleatorias por lo que tendrán determinas distribuciones de probabilidad y determinados parámetros (media , varianza , etc) .Para el desarrollo de la inferencia es

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