Integrales y Álgebra Lineal

             Diferenciales                                           Integrales

1. du=                                   1.[pic 1][pic 2]
2. d(au)= a du                                    2.[pic 3]
3. d(u + v) = du + dv                         3. [pic 4]
4. d(un)= nun – 1du                             4. + C,  n ≠ - 1[pic 5]
5. d(ln u) =                                     5.   = ln [pic 6][pic 7][pic 8]
6. d(                            6.  = [pic 9][pic 10][pic 11]
7. dln a du                    7.  du =       [pic 12][pic 13][pic 14]
8. d(sen u) = cos u du                      8.[pic 15]
9. d(cos u) = - sen u du                    9. [pic 16]
10.  d(tan u) = sec2u du                     10.  u du = tan u + c[pic 17]
11.  d(cot u) = - cosec2 u du             11. [pic 18]
12.  d(sec u) = sec u tan u du           12. [pic 19]
13.  d(cosec u) = - csc u cot du        13. [pic 20]
14.  d(arc sen u) =                    14- 15.  = [pic 21][pic 22][pic 23]
15.  d(arc cos u) = [pic 24]
16.  d(arctan u) =                       16-17.  = [pic 25][pic 26][pic 27]
17.  d(arc cot u) = [pic 28]
18.  d(arc sec u) =           18.  =        si u > 0[pic 29][pic 30][pic 31]

1.  d(arc csc u) =           19.   =     si u < 0[pic 32][pic 33][pic 34]

ANTIDERIVADA: Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo I si F´(x) = f(x) para todo valor de x en I.

Por ejemplo si F(x) = 4x3+ x2 + 5 entonces  F´(x)= 12x2 + 12x , siendo f(x)= 12x2 + 12x se dice entonces F es la antiderivada de f. Si G es la función G(x)= 4x3 ´+ x2 - 17 entonces G también es una antiderivada de f porque G´(x) = 12x2 + 12x. Cualquier función 4x3 + x2 + C donde C es una constante, es una antiderivada de f. A la antiderivada de f se denota por:  y se lee integral de la función f respecto a la variable de integración x:  = F(x) + C donde F´(x) = f(x) y [pic 35][pic 36]

d(F(x))= f(x)dx y ʃd(F(x)) = ʃ f(x)dx = F(x) + C.

EJERCICIOS RESUELTOS

Se requieren los conocimientos previos sobre derivación, la tabla que se dio al inicio, así como también manejar las destrezas en la aplicación de artificios para la resolución de los problemas.

1. ʃ x2dx, si se revisa la tabla se notará que la integral tiene la forma:

ʃ undu por lo tanto ʃ x2dx = x3/3 + C

1.   usando exponente fraccionario: =  a lo cual se le aplica la fórmula anterior=  + C =   + C[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]
2.  se puede separar y extraer factores del integrando[pic 44]

 =  = 3 + 5 = 3 + 5x + C[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]

1.  (x +  )dx  usando exponente fraccionario:[pic 51][pic 52]

 (x +  )dx = (x +  )dx =  + )dx =[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58]

  + dx =  +  + C[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

1.  llamamos u = 3x ; du = 3dx  = dx, sustituyendo queda: =  =   y por la tabla de fórmulas: =  cosu + C = cos3x + C[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]
2. dx = 2dx + 3dx [pic 72][pic 73][pic 74]

2dx + 3[pic 75][pic 76]

Llamamos u = senx; du = cosx para el primer caso y u = x; du =dx entonces:

2dx + 3 = 2 + 3 =[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]

2lnu – 3cosu = 2lnsenx -3cosx + C

1. dx llamamos u =  , du =2x x =  sustituyendo:[pic 81][pic 82][pic 83][pic 84]

 =  =  = ½ arctanu +C = [pic 85][pic 86][pic 87]

½ arctan[pic 88]

1.  dx Se hace u = 1+x; du = dx; x = 1-u, sustituyendo: = du resolviendo:[pic 89][pic 90][pic 91]

 =du. Se aplica distributiva quedando:du -2 + du[pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96]

Aplicando la tabla y sustituyendo queda:

  -   +   + C[pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102]

1. dx  Si u =   , du =  2du =   sustituyendo:[pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107]

 =  = 2 =- 2cos + C[pic 108][pic 109][pic 110][pic 111]

EJERCICIOS

1. [pic 112]
2. dx[pic 113]
3. [pic 114]
4. [pic 115]
5. [pic 116]
6. dt[pic 117]

INTEGRACIÓN POR PARTES

Esta técnica cuando en el integrando la función f tiene la forma del producto u.v:

´ = u.v - ´.v  La idea es seleccionar en el integrando quién es u y quién es v derivada. Si la elección no resulta puede probarse invirtiendo la elección. [pic 118][pic 119]

1. dx  si se elige u = x entonces du =dx; si dv =  entonces [pic 120][pic 121]

v =   al sustituir dx = x -  como esta última integral es inmediata resulta: = x -  + C[pic 122][pic 123][pic 124][pic 125][pic 126][pic 127][pic 128]

1. [pic 129]

Se hace u = lnx    u´ = 1/x;  v´ = X2 ; v = x3/3 entonces:

 = lnx.x3/3 -  .dx =lnx.x3/3 – 1/3 dx =[pic 130][pic 131][pic 132][pic 133]

 lnx.x3/3 – x3/9 + C[pic 134]

1. [pic 135]

Se hace u = x ; du = dx ; v´ = cosx; v = senx   entonces:

 = xsenx -  = xsenx + cosx + C[pic 136][pic 137]

1. [pic 138]

Se hace u = lnx  ; u´ =1/x ; v´ = dx ; v = x  entonces:

 = xlnx - .xdx = xlnx -  = xlnx – x + C[pic 139][pic 140][pic 141]

EJERCICIOS

1. [pic 142]
2. [pic 143]
3. [pic 144]
4. [pic 145]
5. [pic 146]
6.  lnxdx[pic 147]
7. dx[pic 148]
8. [pic 149]

INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida corresponde a un área entre una curva  y el eje x, y se denota por:= F(b) – F(a) donde a es el límite inferior y b es el límite superior.[pic 150]

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1.  = - [pic 151][pic 152]
2.  = 0[pic 153]
3.  = k [pic 154][pic 155]
4.  =  [pic 156][pic 157][pic 158]

EJERCICIOS RESUELTOS

1.  =  +  = x2 + 5x , luego se evalúa en 2 y -1, es decir:(2)2 + 5(2) – [(-1)2 + 5(-1)] = 14 + 4 =18[pic 159][pic 160][pic 161]
2.  dx =lnx evaluado en 4 y 3: ln(4) – ln(3) [pic 162][pic 163]

ÁREAS

Cuando se tiene un área entre dos curvas y esta acotada por los lados por las rectas x = a y x = b se calcula el área aplicando la integral definida;

[pic 164]

1. Hallar el área limitada por las curvas,  y =   y   y = x. Dibújense las curvas, encuentre los puntos de intersección y calcule: [pic 165]

Area =  = 1/6 unidad cuadrada[pic 166]

1. Hallar el área limitada por las curvas y = 4x – x2 + 8  y  y = x2 – 2x

Se hallan los puntos de intersección X = -1 y x = 4 luego se integra:

 = 125/3 unidades cuadradas.[pic 167]

1. Hallar el área de la región limitada por la curva y2 = 4x y las rectas y = 3 y x = 0. Grafique la curva. Se hallan los puntos de intersección que resultando (9/4,3) y se calcula:  = 9/4 unidades cuadradas. [pic 168]
2. Hallar el área de la región limitada por la curva y2 = x  y  x-y = 2 los puntos de intersección son: (1,-1 ) y ( 4,2 ) Se calcula:

Área =   - (-  )]dx +   - ( x-2 )]dx = 9/2 unidades cuadradas. Otra alternativa es integrar usando franjas horizontales, de esta manera la variable de integración es y, y la curva que queda por encima es y + 2  y  la que queda por debajo es y2 = x entonces:[pic 169][pic 170][pic 171]

...