Introducci´on a la Teor´ıa de N´umeros

Introducci´on a la Teor´ıa de N´umeros

La Teor´ıa de N´umeros, al menos originalmente, es la rama de la matem´atica

que estudia las propiedades de los n´umeros naturales 1; 2; 3; : : : . A poco andar uno

descubre que este estudio no se confina a dicho conjunto de n´umeros, ni siquiera al

conjunto de los n´umeros enteros : : : ;€3;€2;€1; 0; 1; 2; : : : , sino que muchas veces

se debe recurrir a otros conjuntos de n´umeros, algebraicos, reales, complejos, etc.

para resolver asuntos relacionados con los numeros naturales (y viceversa).

Algunos problemas cl´asicos de la Teor´ıa de N´umeros como el llamado ´ultimo

teorema de Fermat o el de la distribuci´on de los n´umeros primos, (ver m´as adelante)

han dado origen a grandes desarrollos de la matem´atica. Por ejemplo, al primero de

estos se debe gran parte del desarrollo de los cuerpos ciclot´omicos, al segundo todo

el desarrollo de la funci´on zeta de Riemann. Es as´ı que en la Teor´ıa de N´umeros

moderna se emplean sofisticadas te´cnicas de an´alisis matem´atico y de teor´ıa de

probabilidades. Estudiaremos aqu´ı tan s´olo los rudimentos de esta disciplina y

haremos algunos alcances acerca de su relaci´on con la llamada ´algebra abstracta.

1. Los N´umeros Naturales y los N´umeros Enteros

Comenzaremos nuestro estudio suponiendo que el lector est´a familiarizado con

los conjuntos

Z = f: : : ;€3;€2;€1; 0; 1; 2; : : : g y

N = f1; 2; 3; : : : g;

de los n´umeros enteros y de los n´umeros naturales (o enteros positivos), respec-

tivamente. En particular supondremos conocimiento de las operaciones de suma

y multiplicaci´on as´ı como de la estructura de orden sobre estos conjuntos, por lo

tanto, no daremos una definici´on axiom´atica de ellas.

La propiedad m´as importante de los n´umeros naturales es el siguiente pr

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